◆第問目！
二次方程式 \({ax^2 +bx+c=0}\) の実数解の個数は、判別式\(\hspace{2pt}D = b^2 -4ac\hspace{2pt}\)の符号から判定することができます。
二次方程式の実数解の個数と判別式\(\hspace{2pt}D\hspace{2pt}\)の符号には、以下のような関係があります。
\(\hspace{1pt}D > 0\hspace{2pt}\) : 異なる二つの実数解を持つ
\(\hspace{1pt}D = 0\hspace{2pt}\) : 重解を持つ
\(\hspace{1pt}D < 0\hspace{2pt}\) : 解を持たない
問題(1)では、重解を持つという条件から、\(\hspace{1pt}D = 0\hspace{2pt}\)を満たす\(\hspace{1pt}(a,b,c)\hspace{1pt}\)の組を数え上げます。
全ての数字の組み合わせを調べると時間がかかってしまうため、できる限り調べる範囲を減らすことが重要です。
本問は、\(\hspace{1pt}D = b^2 - 4ac = 0\hspace{2pt}\)すなわち\(\hspace{2pt}b^2 = 4ac\hspace{2pt}\)が条件となるため、『\(\hspace{1pt}b\hspace{1pt}\)が偶数となる』という条件から調べる数字を絞ることができます。
問題(2)では、二つの実数解を持つという条件から、\(D > 0\hspace{2pt}\)を満たす\(\hspace{1pt}(a,b,c)\hspace{1pt}\)の組を数え上げます。
\(\hspace{1pt}D = b^2 - 4ac > 0\hspace{2pt}\)すなわち\(\hspace{2pt}b^2 > 4ac\hspace{2pt}\)が条件となります。
ここで、\(\hspace{1pt}a \hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}c\hspace{2pt}\)は\(\hspace{2pt}1\hspace{2pt}\)から\(\hspace{2pt}6\hspace{2pt}\)の整数であるため、\(b^2 > 4ac \geqq 4\hspace{2pt}\)という条件から調べる数字を絞ることができます。
『二次方程式が解を持たない』ことの余事象は『二次方程式が重解を持つ』または『二次方程式が異なる二つの実数解を持つ』であることから、問題(1)と(2)の結果を利用して簡単に確率を求めることができます。
【答え】
(1) \(\displaystyle\frac{5}{216}\hspace{1pt}\)
(2) \(\displaystyle \frac{19}{108}\hspace{1pt}\)
(3) \(\displaystyle \frac{173}{216}\hspace{1pt}\)
【(1)の解答】
問題 :『サイコロを\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)回投げて、出た目の順に\(\hspace{1pt}a , b ,c\hspace{1pt}\)とする。このとき、二次方程式\(\hspace{1pt}ax^2 + bx + c = 0\hspace{1pt}\)が重解を持つ確率を求めよ』
サイコロを\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)回投げたときの目の出方は\(\hspace{2pt}6^3\hspace{2pt}\)通りとなります。
また、二次方程式\(\hspace{1pt}ax^2 + bx + c = 0\hspace{1pt}\)が重解を持つためには、判別式を\(\displaystyle\hspace{1pt}D\hspace{1pt}\)とすると $${D = b^2 -4ac = 0}$$ を満たすことが条件となります。
ここで、\(b^2 = 4ac\hspace{2pt}\)であることから\(\hspace{2pt}b^2\hspace{2pt}\)は偶数、すなわち\(\hspace{2pt}b\hspace{2pt}\)は偶数となります。
[1] \(\hspace{1pt}b = 2\hspace{1pt}\)のとき
\(\hspace{1pt}ac = 1\hspace{1pt}\)であることから
$${(a , c) = ( 1, 1)}$$
の\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)通りとなります。
[2] \(\hspace{1pt}b = 4\hspace{1pt}\)のとき
\(\hspace{1pt}ac = 4\hspace{1pt}\)であることから
$${(a , c) = ( 1, 4) , ( 2, 2) , ( 4, 1)}$$
の\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)通りとなります。
[3] \(\hspace{1pt}b = 6\hspace{1pt}\)のとき
\(\hspace{1pt}ac = 9\hspace{1pt}\)であることから
$${(a , c) = ( 3, 3) }$$
の\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)通りとなります。
したがって、求める確率は\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{1 + 3 + 1}{6^3} = \frac{5}{216}\hspace{2pt}\)となります。
【(2)の解答】
問題 :『サイコロを\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)回投げて、出た目の順に\(\hspace{1pt}a , b ,c\hspace{1pt}\)とする。このとき、二次方程式\(\hspace{1pt}ax^2 + bx + c = 0\hspace{1pt}\)が異なる二つの実数解を持つ確率を求めよ』
二次方程式\(\hspace{1pt}ax^2 + bx + c = 0\hspace{1pt}\)が異なる二つの実数解を持つためには、判別式を\(\displaystyle\hspace{1pt}D\hspace{1pt}\)とすると $${D = b^2 -4ac > 0}$$ を満たすことが条件となります。
ここで、\(\hspace{1pt}a \hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}c\hspace{2pt}\)は\(\hspace{2pt}1\hspace{2pt}\)から\(\hspace{2pt}6\hspace{2pt}\)の整数であるため $${b^2 > 4ac \geqq 4}$$ となり、\(b^2 > 4 \hspace{1pt}\)、すなわち\(\hspace{2pt} b \geqq 3\hspace{2pt}\)の範囲を調べればよいことになります。
[1] \(\hspace{1pt}b = 3\hspace{1pt}\)のとき
\(\displaystyle\hspace{1pt}ac < \frac{9}{4}\hspace{1pt}\)を満たす\(\hspace{1pt}(a,c)\hspace{1pt}\)の組は
$${(a , c) = ( 1, 1) , (2 ,1 ), (1 ,2)}$$
の\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)通りとなります。
[2] \(\hspace{1pt}b = 4\hspace{1pt}\)のとき
\(\hspace{1pt}ac < 4 \hspace{1pt}\)を満たす\(\hspace{1pt}(a,c)\hspace{1pt}\)の組は
$$
\begin{aligned}
(a , c) = & ( 1, 1) , ( 2, 1) , ( 1, 2) , \\[0.7em]
& ( 3, 1) , ( 1, 3) \\[0.7em]
\end{aligned}
$$
の\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)通りとなります。
[3] \(\hspace{1pt}b = 5\hspace{1pt}\)のとき
\(\displaystyle\hspace{1pt}ac < \frac{25}{4} \hspace{1pt}\)を満たす\(\hspace{1pt}(a,c)\hspace{1pt}\)の組は
$$
\begin{aligned}
(a , c) = & ( 1, 1) , ( 2, 1) , ( 1, 2) , \\[0.7em]
& ( 3, 1) , ( 1, 3) , ( 1, 4) ,\\[0.7em]
& ( 4, 1) , ( 1, 5) , ( 5, 1) ,\\[0.7em]
& ( 6, 1) , ( 1, 6) , ( 2, 2) ,\\[0.7em]
& ( 2, 3) , ( 3, 2) \\[0.7em]
\end{aligned}
$$
の\(\hspace{1pt}14\hspace{1pt}\)通りとなります。
[4] \(\hspace{1pt}b = 6\hspace{1pt}\)のとき
\(\displaystyle\hspace{1pt}ac < 9 \hspace{1pt}\)を満たす\(\hspace{1pt}(a,c)\hspace{1pt}\)の組は
$$
\begin{aligned}
(a , c) = & ( 1, 1) , ( 2, 1) , ( 1, 2) , \\[0.7em]
& ( 3, 1) , ( 1, 3) , ( 1, 4) ,\\[0.7em]
& ( 4, 1) , ( 1, 5) , ( 5, 1) ,\\[0.7em]
& ( 6, 1) , ( 1, 6) , ( 2, 2) ,\\[0.7em]
& ( 2, 3) , ( 3, 2),( 2, 4) , \\[0.7em]
& ( 4, 2) \\[0.7em]
\end{aligned}
$$
の\(\hspace{1pt}16\hspace{1pt}\)通りとなります。
したがって、求める確率は\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{3 + 5 + 14 + 16}{6^3} = \frac{19}{108}\hspace{2pt}\)となります。
【(3)の解答】
問題 :『サイコロを\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)回投げて、出た目の順に\(\hspace{1pt}a , b ,c\hspace{1pt}\)とする。このとき、二次方程式\(\hspace{1pt}ax^2 + bx + c = 0\hspace{1pt}\)が解を持たない確率を求めよ』
解を持たない事象は、問題(1)と(2)の余事象であるから、求める確率は
$$
\begin{aligned}
1 - \left(\frac{5}{216} + \frac{19}{108}\right) = &1 - \frac{43}{216}\\[0.7em]
= & \frac{173}{216}\\[0.7em]
\end{aligned}
$$
となります。
【入試本番に向けたアドバイス】
本問は、サイコロの確率と二次方程式の融合問題であり、入試では頻出の問題です。
このタイプの問題の解法としては
① 二次方程式の判別式から条件式を作る
② 条件式を満たすサイコロの目の組み合わせを求める
という解法が定石です。
本問より難易度の高い問題として、二次方程式の解にさらに複雑な条件を加える問題もありますが、本問と同じ方針で解きます。
サイコロの確率と二次方程式の融合問題を解くポイントは『条件式を利用し、可能な限り調べる数字の組み合わせを絞り込む』という点にあります。
例えば、二次方程式の判別式 $${b^2 - 4ac = 0}$$ が条件式である場合、\(b^2 = 4ac\hspace{2pt}\)であることから\(\hspace{2pt}b^2\hspace{2pt}\)は偶数、すなわち\(\hspace{2pt}b\hspace{2pt}\)は偶数となり、調べる\(\hspace{1pt}b\hspace{1pt}\)の数字を絞り込むことができます。
また、二次方程式が\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの異なる解をもつ $${b^2 - 4ac > 0}$$ が条件式である場合、\(b^2 > 4ac \geqq 4\hspace{1pt}\)であることから、\(b^2 > 4 \hspace{1pt}\)、すなわち\(\hspace{2pt} b \geqq 3\hspace{2pt}\)の範囲を調べればよいことになります。
『条件式を観察し、調べる数字の組を絞り込む』という解法は、本問に限らず入試問題でよく用いられる解法なので、必ず慣れておくようにしましょう。
【関連するページ】
・確率の定義
・判別式