√(2-x)/(2+x)の定積分の問題と解き方

【答え】
　$\displaystyle \frac{2}{3}\pi - \sqrt{3} $
　

【解答のポイント】
被積分関数が$\displaystyle\hspace{2pt}\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\hspace{2pt}$の積分は根号全体を変数に置き換えることが定石です。

本問では $${t =\sqrt{\frac{2-x}{2+x}}} $$ と根号全体を置き換えることで計算します。
　

【解答】
　問題 :『定積分$\displaystyle\hspace{2pt}\int_1^2 \sqrt{\frac{2-x}{2+x}}\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}$を求めよ』
　

置換積分法から $$t = \sqrt{\frac{2-x}{2+x}} $$ とおきます。

変数$\hspace{2pt}x\hspace{2pt}$と$\hspace{2pt}t\hspace{2pt}$の積分区間は以下のように対応します。

${x}$	${\displaystyle 1 \to 2}$
${t}$	$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{3}} \to 0}$

また、$x\hspace{2pt}$について解くと $$ \begin{aligned} t^2 & = \frac{2-x}{2+x} \\[1em] 2t^2 + t^2 x &= 2-x\\[1em] (t^2+1)x &= 2(1 - t^2)\\[1em] x &= \frac{2(1-t^2)}{t^2+1}\\[1em] \end{aligned} $$ となります。

$\displaystyle{x = \frac{2(1-t^2)}{t^2+1} }$ の両辺を$\hspace{2pt}t\hspace{2pt}$で微分すると商の微分公式から $$ \begin{aligned} \frac{dx}{dt} & =\frac{(-4t)(t^2+1) - 2(1-t^2)\cdot 2t}{(t^2+1)^2} \\[1.4em] &= \frac{-4t^3-4t -4t+4t^3}{(t^2+1)^2}\\[1.4em] &= \frac{-8t}{(t^2+1)^2}\\[1.4em] \end{aligned} $$ すなわち、$\displaystyle{dx = \frac{-8t}{(t^2+1)^2}\hspace{1pt} dt}$ と表せます。

変数を置き換えて積分すると

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int_1^2 \sqrt{\frac{2-x}{2+x}}\hspace{1pt}dx \\[1.4em] \hspace{10pt}&= \int_{\frac{1}{\sqrt{3}} }^0 t \cdot \frac{-8t}{(t^2+1)^2}\hspace{1pt} dt \\[1.4em] &=-8 \int_{\frac{1}{\sqrt{3}} }^0 \frac{t^2}{(t^2+1)^2}\hspace{1pt} dt \\[1.4em] &=8 \int_0^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \frac{t^2}{(t^2+1)^2}\hspace{1pt} dt \\[1.4em] \end{aligned} $$

となります。

置換積分法から$\hspace{2pt}t = \tan \theta\hspace{2pt}$とおきます。

変数$\hspace{2pt}t\hspace{2pt}$と$\hspace{2pt}\theta\hspace{2pt}$の積分区間は以下のように対応します。

${t}$	${\displaystyle 0 \to \frac{1}{\sqrt{3}}}$
${\theta}$	$\displaystyle{0 \to \frac{\pi}{6}}$

$\displaystyle{t = \tan \theta }$ の両辺を$\hspace{2pt}\theta\hspace{2pt}$で微分すると三角関数の微分公式から$\displaystyle\hspace{2pt}\frac{dt}{d\theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta}\hspace{2pt}$となります。すなわち、$\displaystyle dt = \frac{d\theta}{\cos^2 \theta}\hspace{2pt}$と表せます。

変数を置き換えて積分すると

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& 8 \int_0^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \frac{t^2}{(t^2+1)^2}\hspace{1pt} dt \\[1.4em] \hspace{10pt}&= 8 \int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{\tan^2 \theta}{(\tan^2 \theta+1)^2} \frac{1}{\cos^2 \theta}\hspace{1pt}d\theta \\[1.4em] &=8 \int_0^{\frac{\pi}{6}} \tan^2 \theta \cdot \cos^4 \theta \cdot \frac{1}{\cos^2 \theta}\hspace{1pt}d\theta \\[1.4em] &=8 \int_0^{\frac{\pi}{6}} \sin^2 \theta \hspace{1pt}d\theta \\[1.4em] &=8 \int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \hspace{1pt}d\theta \\[1.4em] &=4 \int_0^{\frac{\pi}{6}} (1 - \cos 2\theta )\hspace{1pt}d\theta \\[1.4em] &=4 \left[\theta-\frac{1}{2}\sin 2\theta \right]_0^{\frac{\pi}{6}} \\[1.4em] &=\frac{2}{3}\pi - \sqrt{3} \\[1.4em] \end{aligned} $$

となります。

【関連するページ】
・置換積分
　

\({x}\)	\({\displaystyle 1 \to 2}\)
\({t}\)	\(\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{3}} \to 0}\)

\({t}\)	\({\displaystyle 0 \to \frac{1}{\sqrt{3}}}\)
\({\theta}\)	\(\displaystyle{0 \to \frac{\pi}{6}}\)