log(1+tanx)の定積分の問題と解き方(King Property)

【答え】
　$\displaystyle \frac{\pi}{8} \log 2 $
　

【解答のポイント】
変数を$\displaystyle\hspace{2pt}t = \frac{\pi}{4}-x\hspace{2pt}$と置き換えると

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}I &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log (1 + \tan x) \hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left(1 + \tan \left( \frac{\pi}{4} - t\right)\right) \hspace{1pt}dt \hspace{10pt}\\[1em] &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \frac{2}{1+ \tan t} \hspace{1pt}dt \hspace{10pt}\\[1em] &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left\{\log 2 - \log (1+ \tan t) \right\} \hspace{1pt}dt \\[1em] &= \log 2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} 1\hspace{1pt}dt - \int_0^{\frac{\pi}{4}}\log (1+ \tan t) \hspace{1pt}dt \hspace{10pt} \\[1em] \end{aligned} $$

となり、元の定積分$\displaystyle\hspace{2pt}\int_0^{\frac{\pi}{4}} \log (1 + \tan x) \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}$と同じ定積分が表れます。

この性質から問題の定積分の値を求めることができます。

【解答】
　問題 :『定積分$\displaystyle\hspace{2pt}\int_0^{\frac{\pi}{4}} \log (1 + \tan x) \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}$を求めよ』
　

変数を$\displaystyle\hspace{2pt}t = \frac{\pi}{4}-x\hspace{2pt}$と置き換えます。

変数$\hspace{2pt}x\hspace{2pt}$と$\hspace{2pt}t\hspace{2pt}$の積分区間は以下のように対応します。

${x}$	${\displaystyle 0 \to \frac{\pi}{4}}$
${t}$	$\displaystyle{\frac{\pi}{4} \to 0}$

また、$\displaystyle\hspace{2pt}t = \frac{\pi}{4} - x\hspace{2pt}$ の両辺を$\hspace{2pt}x\hspace{2pt}$で微分すると $${\frac{dt}{dx} = -1 }$$ となります。すなわち、$\displaystyle{dt = - dx}$ と表せます。

ここで、$\displaystyle I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log (1 + \tan x) \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}$とします。
問題の定積分の変数を置き換えると以下のようになります。

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}I &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log (1 + \tan x) \hspace{1pt}dx \\[1em] &= -\int_{\frac{\pi}{4}}^0 \log \left(1 + \tan \left( \frac{\pi}{4} - t\right)\right) \hspace{1pt}dt \hspace{10pt}\\[1em] &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left(1 + \tan \left( \frac{\pi}{4} - t\right)\right) \hspace{1pt}dt \hspace{10pt}\\[1em] &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left(1 + \tan \left( \frac{\pi}{4} - x\right)\right) \hspace{1pt}dx \hspace{10pt}\\[1em] \end{aligned} $$

(上記の式変形の三行目から四行目は、変数を$\hspace{1pt}t\hspace{1pt}$と$\hspace{2pt}x\hspace{2pt}$で書き換えただけです。)

ここで、三角関数の加法定理 $${\tan (\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta}}$$ から $$ \begin{aligned} & 1 + \tan \left( \frac{\pi}{4} - x\right) \\[1em] &= 1+ \frac{1 - \tan x}{1+ \tan x} \\[1em] &= \frac{2}{1+ \tan x} \\[1em] \end{aligned} $$ となります。

すなわち

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}I &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left(1 + \tan \left( \frac{\pi}{4} - x\right)\right) \hspace{1pt}dx \hspace{10pt} \\[1em] &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left( \frac{2}{1+ \tan x} \right) \hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left\{\log 2 - \log (1+ \tan x) \right\} \hspace{1pt}dx \\[1em] &= \log 2 \int_0^{\frac{\pi}{4}}1 \hspace{1pt}dx- \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log (1+ \tan x) \hspace{1pt}dx \hspace{10pt} \\[1em] &= \frac{\pi}{4}\log 2 - I \\[1em] \end{aligned} $$

したがって $${ I = \frac{\pi}{8} \log 2 }$$ となることから $${\int_0^{\frac{\pi}{4}} \log (1 + \tan x) \hspace{1pt}dx = \frac{\pi}{8} \log 2}$$ と求められます。
　

【入試本番に向けたアドバイス】
　本問の解答は、関数$\hspace{2pt}f(x)\hspace{2pt}$の定積分に成り立つ『King Property』という性質を利用しています。

King Property とは積分区間$\hspace{1pt}[a,b]\hspace{1pt}$における関数$\hspace{2pt}f(x)\hspace{2pt}$の定積分に成り立つ以下のような式のことをいいます $$ \int_a^b f(x) \hspace{1pt} dx = \int_a^b f(a+b - x) \hspace{1pt} dx $$ 上式は左辺の定積分を$\hspace{2pt}t = a+b -x\hspace{2pt}$と置き換えることで導くことができます。

本問は上式の積分区間の片側が$\hspace{1pt}0\hspace{1pt}$の場合であり、以下のような式で表されます。 $${ \int_0^a f(x) \hspace{1pt} dx = \int_0^a f(a - x) \hspace{1pt} dx}$$

King Property は式の右辺と左辺の和
$\displaystyle\hspace{2pt}\int_a^b (f(x) + f(a+b - x) )\hspace{1pt} dx\hspace{2pt}$が簡単な定積分となる
ときに有効な手法となります。
　

・King Property の計算例1

本問では、$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log (1 + \tan x) \hspace{1pt}dx \hspace{2pt}$の変数を$\displaystyle\hspace{2pt}t = \frac{\pi}{4}-x\hspace{2pt}$と置き換えると

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt} & \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log (1 + \tan x) \hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left(1 + \tan \left( \frac{\pi}{4} - t\right)\right) \hspace{1pt}dt \hspace{10pt}\\[1em] &= \log 2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} 1\hspace{1pt}dt - \int_0^{\frac{\pi}{4}}\log (1+ \tan t) \hspace{1pt}dt \hspace{10pt} \\[1em] \end{aligned} $$

となることから、『元の定積分』と『変数を置き換えた定積分』の和を求めると

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt} & \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log (1 + \tan x) \hspace{1pt}dx \\[1em] \hspace{10pt} & + \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left(1 + \tan \left( \frac{\pi}{4} - x\right)\right) \hspace{1pt}dx \hspace{10pt}\\[1em] &= \log 2 \int_0^{\frac{\pi}{4}}1 \hspace{1pt}dx \hspace{10pt}\\[1em] &= \frac{\pi}{4}\log 2 \hspace{10pt} \\[1em] \end{aligned} $$

と簡単な積分となることから、元の定積分を $${\int_0^{\frac{\pi}{4}} \log (1 + \tan x) \hspace{1pt}dx = \frac{\pi}{8} \log 2}$$ と求められます。
　

・King Property の計算例2
　他に計算例を上げると、$\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{1+e^x} \hspace{1pt}dx \hspace{2pt}$の定積分では変数を$\hspace{1pt}t = -1+1-x = -x\hspace{1pt}$と置き換えると $$ \begin{aligned} \hspace{10pt} & \int_{-1}^{1} \frac{1}{1+e^x} \hspace{1pt}dx\\[1em] &= \int_{-1}^{1} \frac{1}{1+e^{-t}} \hspace{1pt}dt \\[1em] \end{aligned} $$ となります。

『元の定積分』と『変数を置き換えた定積分』の和を計算すれば

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt} & \int_{-1}^{1} \frac{1}{1+e^x} \hspace{1pt}dx + \int_{-1}^{1} \frac{1}{1+e^{-x}} \hspace{1pt}dx\hspace{10pt}\\[1em] & = \int_{-1}^{1} \frac{e^{-x}}{e^{-x}+1} \hspace{1pt}dx + \int_{-1}^{1} \frac{1}{1+e^{-x}} \hspace{1pt}dx\hspace{10pt}\\[1em] &= \int_{-1}^{1} \frac{1+e^{-x}}{1+e^{-x}} \hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int_{-1}^{1} 1\hspace{1pt}dx \\[1em] &= 2 \\[1em] \end{aligned} $$

すなわち $${\int_{-1}^{1} \frac{1}{1+e^x} \hspace{1pt}dx =1}$$ と求められます。

King Property の性質を利用すると、どこから手を付ければよいか分からない難解な定積分が、簡単に解ける場合が数多くあります。

King Property を利用するときは $$ \int_a^b f(x) \hspace{1pt} dx = \int_a^b f(a+b - x) \hspace{1pt} dx $$ の式を覚えておく必要はなく、変数を$\hspace{2pt}t = a+b -x\hspace{2pt}$と置き換えるという点と解答の流れを覚えておけば問題ありません。

入試本番で定積分の解法に迷うことがあれば、まずは上記の置き換えを試してみる価値があります。
　

【関連するページ】
・置換積分法

・三角関数の合成

・三角関数の加法定理
　

\({x}\)	\({\displaystyle 0 \to \frac{\pi}{4}}\)
\({t}\)	\(\displaystyle{\frac{\pi}{4} \to 0}\)