◆第問目！
\(\hspace{2pt}I_1\hspace{2pt}\)を計算すると $$ \begin{aligned} I_1 &= \int \tan x \hspace{1pt}dx \\[1em] & = \int \frac{\sin x}{\cos x} \hspace{1pt}dx \\[1em] \end{aligned} $$ となり、被積分関数が『分母の関数を\(\hspace{1pt}f(x)\hspace{1pt}\)とすると、分子が\(\hspace{1pt}f'(x)\hspace{1pt}\)』となります。
このような不定積分は\(\hspace{2pt}C\hspace{2pt}\)を積分定数としたとき
$${\int \frac{f'(x)}{f(x)} \hspace{1pt}dx = \log |f(x)|+C}$$
の公式を利用して求めることができます。
本問は三角関数の相互関係 $${1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}}$$ を用いて、以下のように変形して漸化式を作ります。
問題(1)の\(\hspace{2pt}I_0 \hspace{1pt}, \hspace{1pt} I_1\hspace{2pt}\)と問題(2)の漸化式 $$ I_n = \frac{1}{n-1}\tan^{n-1}x - I_{n-2}$$ から\(\displaystyle \hspace{2pt}I_3 \hspace{1pt}, \hspace{1pt}I_4\hspace{2pt}\)を求めます。
【答え】
(1) \(\displaystyle I_0 = x+C\hspace{2pt}\)
\(\displaystyle \hspace{2pt} I_1 = -\log |\cos x| + C\)
(ただし、\(C\hspace{2pt}\)は積分定数)
(2) 証明問題のため省略
(3) \(\displaystyle I_3 = \frac{1}{2}\tan^{2}x +\log |\cos x| +C\)
\(\displaystyle \hspace{2pt}I_4 =\frac{1}{3}\tan^{3}x - \tan x + x + C\)
(ただし、\(C\hspace{2pt}\)は積分定数)
【解答のポイント】
本問は三角関数\(\hspace{2pt}\tan x\hspace{2pt}\)の\(\hspace{2pt}n\hspace{2pt}\)乗の定積分から漸化式を作る問題です。
本問は三角関数の相互関係
$${1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}}$$
を用いて変形した後、置換積分法から積分を計算し、漸化式を求めます。
【問題(1)の解答】
問題 :『\(\displaystyle I_n = \int \tan^n x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}\)\(\hspace{2pt}(n=0,1,2,\cdots)\hspace{2pt}\)とおくとき、\(\displaystyle I_0 , I_1\hspace{2pt}\)を求めよ』
\(I_0 \hspace{2pt}\)は以下のように求められます。
$$
\begin{aligned}
I_0 &= \int \tan^0 x \hspace{1pt}dx \\[1em]
&= \int 1 \hspace{1pt}dx \\[1em]
&= x +C \hspace{10pt}\\[1em]
\end{aligned}
$$
(ただし、\(C\hspace{2pt}\)は積分定数)
また、\(I_1 \hspace{2pt}\)は以下のように求められます。
$$
\begin{aligned}
I_1 &= \int \tan x \hspace{1pt}dx \\[1em]
& = \int \frac{\sin x}{\cos x} \hspace{1pt}dx \\[1em]
\end{aligned}
$$
ここで、被積分関数が『分母の関数を\(\hspace{1pt}f(x)\hspace{1pt}\)とすると、分子が\(\hspace{1pt}f'(x)\hspace{1pt}\)』の関係にあるから\(\hspace{2pt}C\hspace{2pt}\)を積分定数としたとき
$${\int \frac{f'(x)}{f(x)} \hspace{1pt}dx = \log |f(x)|+C}$$
であることから
$$
\begin{aligned}
I_1 &= \int \frac{\sin x}{\cos x} \hspace{1pt}dx \\[1em]
& = -\log |\cos x| + C\\[1em]
\end{aligned}
$$
(ただし、\(C\hspace{2pt}\)は積分定数)
【問題(2)の解答】
問題 :『\(\displaystyle I_n = \int \tan^n x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}\)\(\hspace{2pt}(n=0,1,2,\cdots)\hspace{2pt}\)とおくとき、\(\displaystyle I_n = \frac{1}{n-1}\tan^{n-1}x - I_{n-2}\hspace{2pt}\)\((\hspace{2pt} n \geqq 2\hspace{2pt})\) を示せ』
\( n \geqq 2\hspace{2pt}\)のとき、\(\displaystyle I_n = \int \tan^n x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}\)を変形すると、以下のようになります。
ここで、\(\displaystyle \int \frac{1}{\cos^2 x} \cdot \tan^{n-2} x \hspace{1pt}dx \hspace{2pt}\)を置換積分法から求めます。
\({t= \tan x}\) とおきます。
両辺を\(\hspace{2pt}t\hspace{2pt}\)で微分すると、三角関数の微分公式から
$${\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\cos^2 x} }$$
となります。すなわち、\(\displaystyle{dt = \frac{1}{\cos^2 x} \hspace{1pt} dx}\) と表せます。
積分を計算すると、以下のようになります。
したがって
$${I_n = \frac{1}{n-1}\tan^{n-1}x - I_{n-2}}$$
となります。
【問題(3)の解答】
問題 :『\(\displaystyle I_n = \int \tan^n x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}\)\(\hspace{2pt}(n=0,1,2,\cdots)\hspace{2pt}\)とおくとき、\(\displaystyle I_3 \hspace{1pt},I_4\hspace{2pt}\) を求めよ』
問題(1)の\(\hspace{2pt}I_0 \hspace{1pt}, \hspace{1pt} I_1\hspace{2pt}\)と問題(2)の漸化式 $$ I_n = \frac{1}{n-1}\tan^{n-1}x - I_{n-2}$$ から\(\displaystyle \hspace{2pt}I_3 \hspace{1pt}, \hspace{1pt}I_4\hspace{2pt}\)を求めます。
と求められます。(ただし、\(C\hspace{2pt}\)は積分定数)
また
と求められます。(ただし、\(C\hspace{2pt}\)は積分定数)
【関連するページ】
・置換積分法