◆第問目！
\(\hspace{2pt}2\hspace{2pt}\)つの異なる交点を持つという条件から、\(ax^2-bx+2c=0\hspace{2pt}\)の判別式が\(\hspace{2pt}D > 0\hspace{2pt}\)となる\(\hspace{1pt}(a,b,c)\hspace{1pt}\)の組を数え上げます。
このとき、\(\hspace{1pt}D = b^2 - 8ac > 0\hspace{2pt}\)すなわち\(\hspace{2pt}b^2 > 8ac\hspace{2pt}\)が条件となります。
\(\hspace{1pt}a \hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}c\hspace{2pt}\)は\(\hspace{2pt}1\hspace{2pt}\)から\(\hspace{2pt}6\hspace{2pt}\)の整数であるため、\(b^2 > 8ac \geqq 8\hspace{2pt}\)という条件から調べる数字を絞ることができます。
問題(1)で\(\hspace{2pt}x\hspace{1pt}\)軸と異なる\(\hspace{2pt}2\hspace{2pt}\)つの交点を持つ\(\hspace{1pt}(a,b,c)\hspace{1pt}\)の組を求めたので、まずは面積\(\hspace{1pt}S\hspace{2pt}\)を\(\hspace{2pt}(a,b,c)\hspace{2pt}\)によって表すことを目指します。
\(y=ax^2-bx+2c\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}x\hspace{2pt}\)軸が\(\hspace{2pt}2\hspace{2pt}\)つの異なる交点を持つとき、その\(\hspace{2pt}x\hspace{1pt}\)座標を\(\hspace{2pt}x=\alpha , \beta\hspace{2pt}\)\(\hspace{2pt}(\alpha < \beta)\hspace{2pt}\)とします。
このとき、\(y=ax^2-bx+2c\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}x\hspace{2pt}\)軸に囲まれた面積\(\hspace{1pt}S\hspace{2pt}\)は1/6公式から以下のように求められます。 $$ \begin{aligned} S &= -\int_\alpha^{\beta}a(x-\alpha)(x-\beta)\hspace{1pt}dx \\[0.7em] &= \frac{a}{6}(\beta - \alpha)^3 \\[0.7em] \end{aligned} $$
ここで、解と係数の関係から\(\displaystyle\hspace{2pt}\alpha + \beta = \frac{b}{a}\hspace{2pt},\)\(\displaystyle\hspace{2pt}\alpha \beta = \frac{2c}{a}\hspace{2pt}\)であることを用いると、面積\(\hspace{2pt}S\hspace{2pt}\)を\(\hspace{2pt}(a,b,c)\hspace{2pt}\)で表すことができます。
【問題(1)の答え】
\(\displaystyle\hspace{3pt}\frac{5}{72}\)
【問題(2)の答え】
\(\displaystyle\hspace{3pt}\frac{13}{216}\)
【解答のポイント】
\(\hspace{2pt}2\hspace{2pt}\)つの異なる交点を持つという条件から、\(ax^2-bx+2c=0\hspace{2pt}\)の判別式が\(\hspace{2pt}D > 0\hspace{2pt}\)となる\(\hspace{1pt}(a,b,c)\hspace{1pt}\)の組を数え上げます。
このとき、\(\hspace{1pt}D = b^2 - 8ac > 0\hspace{2pt}\)すなわち\(\hspace{2pt}b^2 > 8ac\hspace{2pt}\)が条件となります。
\(\hspace{1pt}a \hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}c\hspace{2pt}\)は\(\hspace{2pt}1\hspace{2pt}\)から\(\hspace{2pt}6\hspace{2pt}\)の整数であるため、\(b^2 > 8ac \geqq 8\hspace{2pt}\)という条件から調べる数字を絞ることができます。
問題(2)は、問題(1)で\(\hspace{2pt}x\hspace{1pt}\)軸と異なる\(\hspace{2pt}2\hspace{2pt}\)つの交点を持つ\(\hspace{1pt}(a,b,c)\hspace{1pt}\)の組を求めたので、まずは面積\(\hspace{1pt}S\hspace{2pt}\)を\(\hspace{2pt}(a,b,c)\hspace{2pt}\)によって表すことを目指します。
\(y=ax^2-bx+2c\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}x\hspace{2pt}\)軸が\(\hspace{2pt}2\hspace{2pt}\)つの異なる交点を持つとき、その\(\hspace{2pt}x\hspace{1pt}\)座標を\(\hspace{2pt}x=\alpha , \beta\hspace{2pt}\)\(\hspace{2pt}(\alpha < \beta)\hspace{2pt}\)とします。
このとき、\(y=ax^2-bx+2c\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}x\hspace{2pt}\)軸に囲まれた面積\(\hspace{1pt}S\hspace{2pt}\)は1/6公式から以下のように求められます。 $$ \begin{aligned} S &= -\int_\alpha^{\beta}a(x-\alpha)(x-\beta)\hspace{1pt}dx \\[0.7em] &= \frac{a}{6}(\beta - \alpha)^3 \\[0.7em] \end{aligned} $$
ここで、解と係数の関係から\(\displaystyle\hspace{2pt}\alpha + \beta = \frac{b}{a}\hspace{2pt},\)\(\displaystyle\hspace{2pt}\alpha \beta = \frac{2c}{a}\hspace{2pt}\)であることを用いると、面積\(\hspace{2pt}S\hspace{2pt}\)を\(\hspace{2pt}(a,b,c)\hspace{2pt}\)で表すことができます。
【問題(1)の解答】
問題 : 『\(1\hspace{2pt}\)個のサイコロを\(\hspace{2pt}3\hspace{2pt}\)回振って出た目を順に\(\hspace{2pt}a,b,c\hspace{2pt}\)とする. このとき, 放物線\(\hspace{2pt}C\hspace{2pt}\)を\(\hspace{2pt} y=ax^2-bx+2c\hspace{2pt}\)と定める.
次の問いに答えよ.
(1) 放物線\(\hspace{2pt}C\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}x\hspace{2pt}\)軸が\(\hspace{2pt}2\hspace{2pt}\)つの異なる交点を持つ確率を求めよ.
(2) 放物線\(\hspace{2pt}C\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}x\hspace{2pt}\)軸に囲まれた面積\(\hspace{1pt}S\hspace{2pt}\)が\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{1}{6}\hspace{2pt}\)以上である確率を求めよ.(ただし, 放物線\(\hspace{2pt}C\hspace{1pt}\)と\(\hspace{2pt}x\hspace{2pt}\)軸が接するか, 共有点がない場合は\(\hspace{2pt}S=0\hspace{2pt}\)とする.)』
まず、サイコロを\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)回投げたときの目の出方は\(\hspace{2pt}6^3\hspace{2pt}\)通りとなります。
二次方程式\(\hspace{1pt}ax^2-bx+2c = 0\hspace{1pt}\)が異なる二つの実数解を持つためには、判別式を\(\displaystyle\hspace{1pt}D\hspace{1pt}\)とすると $${D = b^2 -8ac > 0}$$ を満たすことが条件となります。
ここで、\(\hspace{1pt}a \hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}c\hspace{2pt}\)は\(\hspace{2pt}1\hspace{2pt}\)から\(\hspace{2pt}6\hspace{2pt}\)の整数であるため $${b^2 > 8ac \geqq 8}$$ となり、\(b^2 > 8 \hspace{1pt}\)、すなわち\(\hspace{2pt} b \geqq 3\hspace{2pt}\)の範囲を調べればよいことになります。
[1] \(\hspace{1pt}b = 3\hspace{1pt}\)のとき
\(\displaystyle\hspace{1pt}ac < \frac{9}{8}\hspace{1pt}\)を満たす\(\hspace{1pt}(a,c)\hspace{1pt}\)の組は
$${(a , c) = ( 1, 1)}$$
の\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)通りとなります。
[2] \(\hspace{1pt}b = 4\hspace{1pt}\)のとき
\(\hspace{1pt}ac < 2 \hspace{1pt}\)を満たす\(\hspace{1pt}(a,c)\hspace{1pt}\)の組は
$${(a , c) = ( 1, 1)}$$
の\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)通りとなります。
[3] \(\hspace{1pt}b = 5\hspace{1pt}\)のとき
\(\displaystyle\hspace{1pt}ac < \frac{25}{8} \hspace{1pt}\)を満たす\(\hspace{1pt}(a,c)\hspace{1pt}\)の組は
$$
\begin{aligned}
(a , c) = & ( 1, 1) , ( 2, 1) , ( 1, 2) , \\[0.7em]
& ( 3, 1) , ( 1, 3) \\[0.7em]
\end{aligned}
$$
の\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)通りとなります。
[4] \(\hspace{1pt}b = 6\hspace{1pt}\)のとき
\(\displaystyle\hspace{1pt}ac < \frac{9}{2} \hspace{1pt}\)を満たす\(\hspace{1pt}(a,c)\hspace{1pt}\)の組は
$$
\begin{aligned}
(a , c) = & ( 1, 1) , ( 2, 1) , ( 1, 2) , \\[0.7em]
& ( 3, 1) , ( 1, 3) , ( 1, 4) ,\\[0.7em]
& ( 4, 1) , ( 2, 2) \\[0.7em]
\end{aligned}
$$
の\(\hspace{1pt}8\hspace{1pt}\)通りとなります。
したがって、求める確率は\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{1 + 1 + 5 + 8}{6^3} = \frac{5}{72}\hspace{2pt}\)となります。
【問題(2)の解答】
問題 : 『\(1\hspace{2pt}\)個のサイコロを\(\hspace{2pt}3\hspace{2pt}\)回振って出た目を順に\(\hspace{2pt}a,b,c\hspace{2pt}\)とする. このとき, 放物線\(\hspace{2pt}C\hspace{2pt}\)を\(\hspace{2pt} y=ax^2-bx+2c\hspace{2pt}\)と定める.
次の問いに答えよ.
(1) 放物線\(\hspace{2pt}C\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}x\hspace{2pt}\)軸が\(\hspace{2pt}2\hspace{2pt}\)つの異なる交点を持つ確率を求めよ.
(2) 放物線\(\hspace{2pt}C\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}x\hspace{2pt}\)軸に囲まれた面積\(\hspace{1pt}S\hspace{2pt}\)が\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{1}{6}\hspace{2pt}\)以上である確率を求めよ.(ただし, 放物線\(\hspace{2pt}C\hspace{1pt}\)と\(\hspace{2pt}x\hspace{2pt}\)軸が接するか, 共有点がない場合は\(\hspace{2pt}S=0\hspace{2pt}\)とする.)』
まず面積\(\hspace{1pt}S\hspace{2pt}\)を\(\hspace{2pt}a,b,c\hspace{2pt}\)によって表します。
\(y=ax^2-bx+2c\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}x\hspace{1pt}\)軸が\(\hspace{2pt}2\hspace{2pt}\)つの異なる交点を持つとき、その\(\hspace{2pt}x\hspace{1pt}\)座標を\(\hspace{2pt}x=\alpha , \beta\hspace{2pt}\)\(\hspace{2pt}(\alpha < \beta)\hspace{2pt}\)とします。
このとき、\(y=ax^2-bx+2c\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}x\hspace{2pt}\)軸に囲まれた面積\(\hspace{1pt}S\hspace{2pt}\)は1/6公式から以下のように求められます。 $$ \begin{aligned} S &= -\int_\alpha^{\beta}a(x-\alpha)(x-\beta)\hspace{1pt}dx \\[0.7em] &= \frac{a}{6}(\beta - \alpha)^3 \\[0.7em] \end{aligned} $$
ここで、解と係数の関係から\(\displaystyle\hspace{2pt}\alpha + \beta = \frac{b}{a}\hspace{2pt},\)\(\displaystyle\hspace{2pt}\alpha \beta = \frac{2c}{a}\hspace{2pt}\)であることから $$ \begin{aligned} (\beta - \alpha)^2 &= \alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2 \\[0.7em] &= (\alpha + \beta)^2 -4 \alpha\beta\\[0.7em] &= \frac{b^2}{a^2} - \frac{8 c}{a}\\[0.7em] &= \frac{b^2-8ac}{a^2}\\[0.7em] \end{aligned} $$ ここで、\(\beta - \alpha > 0\hspace{2pt}\)であるので $${\beta - \alpha = \frac{\sqrt{b^2-8ac}}{a}}$$ となります。
すなわち $$ \begin{aligned} S = & \frac{a}{6}(\beta - \alpha)^3 \\[0.7em] &= \frac{(b^2-8ac)^\frac{3}{2}}{6a^2}\\[0.7em] \end{aligned} $$ となります。
面積\(\hspace{1pt}S\hspace{2pt}\)が\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{1}{6}\hspace{2pt}\)以上であるためには $${\frac{(b^2-8ac)^\frac{3}{2}}{6a^2} \geqq \frac{1}{6}}$$ すなわち $${(b^2-8ac)^3 \geqq a^4}$$ を満たす\(\hspace{2pt}(a,b,c)\hspace{2pt}\)の組を求めることになります。
ここで、調べる\(\hspace{2pt}(a,b,c)\hspace{2pt}\)の組の数を減らすため、問題(1)で求めた\(\hspace{2pt}(a,b,c)\hspace{2pt}\)の組のうち面積が\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{1}{6}\hspace{2pt}\)未満であるような\(\hspace{2pt}(a,b,c)\hspace{2pt}\)の組、すなわち $${(b^2-8ac)^3 < a^4 \cdots (1)}$$ を満たす\(\hspace{2pt}(a,b,c)\hspace{2pt}\)の組を求めます。
(1)式の左辺は\(\hspace{2pt}a,b,c\hspace{2pt}\)が\(\hspace{2pt}1\hspace{2pt}\)以上の整数であり、かつ\(\hspace{2pt}b^2-8ac\hspace{2pt}\)は判別式\(\hspace{2pt}D\hspace{2pt}\)であることから、\(y=ax^2-bx+2c\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}x\hspace{2pt}\)軸が\(\hspace{2pt}2\hspace{2pt}\)つの異なる交点を持つとき $${b^2 -8ac \geqq 1}$$ となります。
したがって、(1)式は\(\hspace{2pt}a=1\hspace{2pt}\)のときに成り立ちません。
よって、問題(1)で求めた\(\hspace{2pt}a,b,c\hspace{2pt}\)の組のうち、\(a=1\hspace{2pt}\)を除いたものを並べると $$ \begin{aligned} (a ,b, c) = & ( 2,5, 1) , (3, 5, 1) , ( 2,6,1) , \\[0.7em] & ( 3,6, 1) , ( 4, 6,1) , ( 2,6, 2) \\[0.7em] \end{aligned} $$ の\(\hspace{2pt}6\hspace{1pt}\)通りとなります。
この\(\hspace{2pt}6\hspace{1pt}\)通りのうち、(1)式を満たす組を求めると $$ (a ,b, c) = (3,5, 1) , (4,6, 1)$$ の\(\hspace{2pt}2\hspace{1pt}\)通りとなります。
すなわち、\(y=ax^2-bx+2c\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}x\hspace{2pt}\)軸が\(\hspace{2pt}2\hspace{2pt}\)つの異なる交点を持つときに面積\(\hspace{2pt}S\hspace{1pt}\)が\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{1}{6}\hspace{2pt}\)以上となる\(\hspace{2pt}(a,b,c)\hspace{2pt}\)の組の数は\(\hspace{2pt}15-2=13\hspace{2pt}\)通りとなります。
したがって、求める確率は\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{13}{6^3} = \frac{13}{216}\hspace{2pt}\)となります。
【入試本番に向けたアドバイス】
本問は確率と定積分の融合問題です。
サイコロやカード、コインの裏表の結果を関数の係数に当てはめ、定積分と結びつける問題は入試問題でたびたび出題される形式の一つです。
確率と定積分の問題が融合されていて一見難しそうですが、『確率の問題』と『定積分の問題』はそれぞれ基本的な問題であるため、解答の方針さえ立てられれば計算は難しくありません。
問題(1)の\(\hspace{2pt}y=ax^2-bx+2c\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}x\hspace{2pt}\)軸が\(\hspace{2pt}2\hspace{2pt}\)つの異なる交点を持つ確率を求める問題は、判別式の条件から調べる\(\hspace{2pt}(a,b,c)\hspace{2pt}\)の組の数を減らし数え上げる解法が定石です。
サイコロの数字を関数の係数に当てはめる問題では『\(\hspace{2pt}(a,b,c)\hspace{2pt}\)はそれぞれ\(\hspace{2pt}1\hspace{2pt}\)以上の整数である』という条件を使うことで数える総数を減らせることが多いので、覚えておきましょう。
問題(2)は、問題(1)で\(\hspace{2pt}x\hspace{1pt}\)軸と異なる\(\hspace{2pt}2\hspace{2pt}\)つの交点を持つ\(\hspace{1pt}(a,b,c)\hspace{1pt}\)の組を求めたので、まずは面積\(\hspace{1pt}S\hspace{2pt}\)を\(\hspace{2pt}(a,b,c)\hspace{2pt}\)によって表すことを目指します。
問題(1)と同様に『\(\hspace{2pt}(a,b,c)\hspace{2pt}\)はそれぞれ\(\hspace{2pt}1\hspace{2pt}\)以上の整数である』という条件を上手く使うことで、調べる組の数を大幅に減らすことができます。
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