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sinxcos^3xを微分する問題

◆第1問目！

【数Ⅲ : 難易度 ★ 】

　次の関数を微分せよ

\large y=\sin x \cos^3 x

積の微分公式

{\hspace{10pt}\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\hspace{10pt}}

と合成関数の微分公式

{\hspace{10pt}\{f(\hspace{1pt}g(x))\}' = f'(\hspace{1pt}g(x))\hspace{1pt}g'(x)\hspace{10pt}}

から微分します。

また、三角関数の微分公式 $\begin{aligned} (\sin x)' & =\cos x\\[1em] (\cos x)' & = -\sin x\\[1em] \end{aligned}$ を使用します。

【解答】

積の微分公式

{\hspace{10pt}\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\hspace{10pt}}

と合成関数の微分公式

{\hspace{10pt}\{f(\hspace{1pt}g(x))\}' = f'(\hspace{1pt}g(x))\hspace{1pt}g'(x)\hspace{10pt}}

を使用して微分します。

また、三角関数の微分公式 $\begin{aligned} (\sin x)' & =\cos x\\[1em] (\cos x)' & = -\sin x\\[1em] \end{aligned}$ から微分すると

\begin{aligned} \hspace{10pt}y' & =(\sin x)' \cos^3 x + \sin x (\cos^3 x)'\hspace{10pt}\\[1em] & = (\cos x) \cos^3 x + \sin x (3\cos^2 x) (\cos x)'\hspace{10pt}\\[1em] & = \cos^4 x + 3 \sin x \cos^2 x (- \sin x)\hspace{10pt}\\[1em] & = \cos^4 x - 3\sin^2 x \cos^2 x \hspace{10pt}\\[1em] & = \cos^4 x - 3(1-\cos^2 x) \cos^2 x \hspace{10pt}\\[1em] & = 4\cos^4 x - 3 \cos^2 x \hspace{10pt}\\[1em] \end{aligned}

となります。

【関連するページ】
・合成関数の微分公式

【出題範囲】　【難易度】

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