【解答】
積の微分公式
$${\hspace{10pt}\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\hspace{10pt}}$$
と合成関数の微分公式
$${\hspace{10pt}\{f(\hspace{1pt}g(x))\}' = f'(\hspace{1pt}g(x))\hspace{1pt}g'(x)\hspace{10pt}}$$
を使用して微分します。
また、三角関数の微分公式
$$\begin{aligned}
(\sin x)' & =\cos x\\[1em]
(\cos x)' & = -\sin x\\[1em]
\end{aligned}$$
から微分すると
$$\begin{aligned}
\hspace{10pt}y' & =(\sin x)' \cos^3 x + \sin x (\cos^3 x)'\hspace{10pt}\\[1em]
& = (\cos x) \cos^3 x + \sin x (3\cos^2 x) (\cos x)'\hspace{10pt}\\[1em]
& = \cos^4 x + 3 \sin x \cos^2 x (- \sin x)\hspace{10pt}\\[1em]
& = \cos^4 x - 3\sin^2 x \cos^2 x \hspace{10pt}\\[1em]
& = \cos^4 x - 3(1-\cos^2 x) \cos^2 x \hspace{10pt}\\[1em]
& = 4\cos^4 x - 3 \cos^2 x \hspace{10pt}\\[1em]
\end{aligned}$$
となります。
【関連するページ】
・合成関数の微分公式
・積の微分公式
・三角関数の微分公式