当たりの数が分からない場合の確率

【答え】
(1) \( 2\hspace{1pt}\)本、\( 3\hspace{1pt}\)本、\( 4\hspace{1pt}\)本

(2) \( 2\hspace{1pt}\)本、\( 3\hspace{1pt}\)本、\( 4\hspace{1pt}\)本、\( 5\hspace{1pt}\)本
　

【(1)の解答】
　問題 :『計\(\hspace{1pt}12\hspace{1pt}\)本のくじに、当たりと外れがそれぞれ\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)本以上あるとする。このくじから同時に\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)本を引くとき、\(2\hspace{1pt}\)本とも当たりである確率が\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{1}{11}\hspace{2pt}\)以下であるときのくじの当たりの本数を求めよ』

当たりの数が未知数であるため、当たりの本数を\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)本、外れの本数を\(\hspace{1pt}12-x\hspace{1pt}\)本とおきます。

このとき、\(x\hspace{1pt}\)は当たりと外れがそれぞれ\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)本以上入っていることから、\( 2 \leqq x \leqq 10\hspace{1pt}\)を満たす整数となります。

\(\hspace{1pt}12\hspace{1pt}\)本のくじに当たりが\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)本含まれるとき、\(2\hspace{1pt}\)本とも当たりとなる確率は $$ \begin{aligned} \frac{{}_x C_2}{{}_{12} C_2} & = \frac{x(x-1)}{12 \cdot 11} \\[0.7em] & = \frac{x(x-1)}{132}\\[0.7em] \end{aligned} $$ となります。

\(2\hspace{1pt}\)本とも当たりである確率が\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{1}{11}\hspace{2pt}\)以下であるとき、次の不等式を満たします。 $$ \begin{aligned} \frac{x(x-1)}{132} & \leqq \frac{1}{11} \\[0.7em] x(x-1) & \leqq 12 \\[0.7em] x^2- x - 12 & \leqq 0 \\[0.7em] (x+3)(x-4) & \leqq 0 \\[0.7em] \end{aligned} $$

ここで、\(x\hspace{1pt}\)は\(\hspace{3pt} 2 \leqq x \leqq 10\hspace{3pt}\)を満たす整数であることから、\(x = 2 , 3 , 4 \hspace{1pt}\)のときに上記の不等式を満たします。

したがって、求める当たりの本数は \( 2\hspace{1pt}\)本、\( 3\hspace{1pt}\)本、\( 4\hspace{1pt}\)本となります。
　

【(2)の解答】
　問題 :『計\(\hspace{1pt}12\hspace{1pt}\)本のくじに、当たりと外れがそれぞれ\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)本以上あるとする。このくじから同時に\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)本を引くとき、少なくとも\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)本は当たりである確率が\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{15}{22}\hspace{2pt}\)以下であるときのくじの当たりの本数を求めよ』

当たりの数が未知数であるため、当たりの本数を\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)本、外れの本数を\(\hspace{1pt}12-x\hspace{1pt}\)本とおきます。

このとき、\(x\hspace{1pt}\)は当たりと外れがそれぞれ\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)本以上入っていることから、\( 2 \leqq x \leqq 10\hspace{1pt}\)を満たす整数となります。

『少なくとも\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)本は当たり』の余事象は『\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)本とも外れる』となります。
そこで、先に\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)本とも外れる確率を求めます。

\(\hspace{1pt}12\hspace{1pt}\)本のくじに当たりが\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)本含まれるとき、\(2\hspace{1pt}\)本とも外れとなる確率は $$ \begin{aligned} & \frac{{}_{12-x} C_2}{{}_{12} C_2} \\[0.7em] & = \frac{(12-x)(11-x)}{12 \cdot 11} \\[0.7em] & = \frac{(12-x)(11-x)}{132}\\[0.7em] \end{aligned} $$ となります。

つまり、少なくとも\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)本は当たりとなる確率は $$ \begin{aligned} & 1-\frac{(12-x)(11-x)}{132} \\[0.7em] & = \frac{132 - (12-x)(11-x)}{132} \\[0.7em] & = \frac{ - x^2 +23x }{132}\\[0.7em] \end{aligned} $$

少なくとも\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)本は当たりの確率が\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{15}{22}\hspace{2pt}\)以下であるとき、次の不等式を満たします。 $$ \begin{aligned} \frac{ - x^2 +23x }{132} & \leqq \frac{15}{22} \\[0.7em] - x^2 +23x & \leqq 90 \\[0.7em] - x^2 + 23x - 90 & \leqq 0 \\[0.7em] -(x-5)(x-18) & \leqq 0 \\[0.7em] \end{aligned} $$

ここで、\(x\hspace{1pt}\)は\(\hspace{3pt} 2 \leqq x \leqq 10\hspace{3pt}\)を満たす整数であることから、\(x = 2 , 3 , 4 , 5\hspace{1pt}\)のときに上記の不等式を満たします。

したがって、求める当たりの本数は \( 2\hspace{1pt}\)本、\( 3\hspace{1pt}\)本、\( 4\hspace{1pt}\)本、\( 5\hspace{1pt}\)本となります。
　

【入試本番に向けたアドバイス】
本問は、確率の条件から くじの当たりの本数 を求める問題です。

このタイプの問題の解法としては
　① 求める当たりの本数を文字\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)とおく
　② \(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)を用いて確率の計算をする
　③ 求められた確率から、当たりの本数\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)を求める
という解法となります。

類題として、『特定の色の玉の数が未知数』、『コインを投げる回数が未知数』、『サイコロを投げる回数が未知数』などの問題があります。

求められた確率が\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)の二次式となる場合には、二次方程式や二次不等式との融合問題となります。
問題によって『\(\hspace{1pt}2 \leqq x \leqq 10\hspace{1pt}\)を満たす整数』などの条件が付く点に気を付けて解を求めます。

さらに難度の高い問題では、確率が\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)の三次式となり、三次方程式や三次不等式を解く場合もあります。
このような場合、後半の方程式や不等式の計算過程が長くなるため、解の条件の確認を忘れないように注意しましょう。
　

【関連するページ】
・確率の定義

・余事象の確率