玉の数が分からない場合の確率

【答え】
(1) 赤玉\(\hspace{1pt}7\hspace{1pt}\)個、白玉\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個 または 赤玉\(\hspace{1pt}8\hspace{1pt}\)個、白玉\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個

(2) 赤玉\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)個、白玉\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)個 または 赤玉\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)個、白玉\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)個
　

【(1)の解答】
　問題 :『玉が計\(\hspace{1pt}10\hspace{1pt}\)個が入っている袋があり、袋には赤玉と白玉がそれぞれ\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個以上入っているとする。
　同時に\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の玉を取り出すとき、\(2\hspace{1pt}\)個とも赤玉である確率が\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{7}{15}\hspace{2pt}\)以上であるときの赤玉と白玉の数を求めよ』

赤玉と白玉の数が未知数であるため、赤玉の個数を\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)個、白玉の個数を\(\hspace{1pt}10-x\hspace{1pt}\)個とおきます。

このとき、\(x\hspace{1pt}\)は赤玉と白玉がそれぞれ\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個以上入っていることから、\( 2 \leqq x \leqq 8\hspace{1pt}\)を満たす整数となります。

\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)個の赤玉から\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の玉を取り出す確率は $$ \begin{aligned} \frac{{}_x C_2}{{}_{10} C_2} & = \frac{x(x-1)}{10 \cdot 9} \\[0.7em] & = \frac{x(x-1)}{90}\\[0.7em] \end{aligned} $$ となります。

\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)個の赤玉から\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の玉を取り出す確率が\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{7}{15}\hspace{2pt}\)以上であるとき、以下の不等式を満たします。 $$ \begin{aligned} \frac{x(x-1)}{90} & \geqq \frac{7}{15} \\[0.7em] x(x-1) & \geqq 42 \\[0.7em] x^2- x - 42 & \geqq 0 \\[0.7em] (x+6)(x-7) & \geqq 0 \\[0.7em] \end{aligned} $$

ここで、\(x\hspace{1pt}\)は\(\hspace{3pt} 2 \leqq x \leqq 8\hspace{3pt}\)を満たす整数であることから、\(x = 7 , 8 \hspace{1pt}\)のときに上記の不等式を満たします。

したがって、求める赤玉と白玉の個数は
　赤玉\(\hspace{1pt}7\hspace{1pt}\)個、白玉\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個 または 赤玉\(\hspace{1pt}8\hspace{1pt}\)個、白玉\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個
となります。
　

【(2)の解答】
　問題 :『玉が計\(\hspace{1pt}10\hspace{1pt}\)個が入っている袋があり、袋には赤玉と白玉がそれぞれ\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個以上入っているとする。
　同時に\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個の玉を取り出すとき、\(3\hspace{1pt}\)個とも同じ色である確率が\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{1}{5}\hspace{2pt}\)であるときの赤玉と白玉の数を求めよ』

問題(1)と同様に、赤玉と白玉の数が未知数であるため、赤玉の個数を\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)個、白玉の個数を\(\hspace{1pt}10-x\hspace{1pt}\)個とおきます。

玉の色が全て同じ事象は、以下の\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの事象の和事象となります。
　・\(3\hspace{1pt}\)個とも赤玉を取り出す
　・\(3\hspace{1pt}\)個とも白玉を取り出す

赤玉と白玉がそれぞれ\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個以上入っていることと、
\(x= 2, 8\hspace{1pt}\)の場合は上記の事象が起こらないことから、\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)は\(\hspace{2pt} 3 \leqq x \leqq 7\hspace{1pt}\)を満たす整数となります。

ここで、『\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個とも赤玉を取り出す事象』と『\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個とも白玉を取り出す事象』は互いに排反であることから、同じ色を取り出す確率は以下のように計算されます。

この確率が\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{1}{5}\hspace{2pt}\)と等しいとき

ここで、\(x\hspace{1pt}\)は\(\hspace{3pt} 3 \leqq x \leqq 7\hspace{3pt}\)を満たす整数であることから、\(x = 4 , 6 \hspace{1pt}\)のときに上記の方程式を満たします。

したがって、求める赤玉と白玉の個数は
　赤玉\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)個、白玉\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)個 または 赤玉\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)個、白玉\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)個
となります。
　

【入試本番に向けたアドバイス】
本問は、確率の条件から玉の数を求める問題です。

このタイプの問題の解法としては
　① 求める玉の数を文字\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)とおく
　② \(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)を用いて確率の計算をする
　③ 求められた確率から、玉の数\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)を求める
という解法となります。

類題として、『くじのあたりの本数が未知数』、『コインを投げる回数が未知数』、『サイコロを投げる回数が未知数』などの問題があります。

求められた確率が\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)の二次式となる場合には、二次方程式や二次不等式との融合問題となります。
問題によって『\(\hspace{1pt}2 \leqq x \leqq 8\hspace{1pt}\)を満たす整数』などの条件が付く点に気を付けて解を求めます。

さらに難度の高い問題では、確率が\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)の三次式となり、三次方程式や三次不等式を解く場合もあります。
このような場合、後半の方程式や不等式の計算過程が長くなるため、解の条件の確認を忘れないように注意しましょう。
　

【関連するページ】
・確率の定義

・確率の性質(排反事象)