3個のサイコロの目と最大値

【答え】
(1) \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{1}{8}\hspace{3pt}\)

(2) \(\displaystyle\hspace{1pt} \frac{37}{216}\hspace{3pt}\)
　

【(1)の解答】
　問題 :『大中小\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個のサイコロを振るとき、サイコロの目の最大値が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)以下の確率を求めよ』

まず、大中小の\(3\hspace{1pt}\)個のサイコロの全ての目の出方は\(\hspace{1pt}6^3\hspace{1pt}\)通りとなります。

また、サイコロの目の最大値が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)以下であるとき、各サイコロの目が\(\hspace{2pt}1 , 2 , 3\hspace{2pt}\)のどれかであればよいので、\(\hspace{1pt}3^3\hspace{1pt}\)通りとなります。

すなわち、サイコロの目の最大値が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)以下の確率は $${\frac{3^3}{6^3} = \frac{1}{8}}$$ となります。
　

【(2)の解答】
　問題 :『大中小\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個のサイコロを振るとき、サイコロの目の最大値が\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)となる確率を求めよ』

問題(1)の計算から、『最大値が\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)以下』という事象の確率は簡単に計算できることが分かります。

そこで、『最大値が\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)』という事象を『最大値が\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)以下』という事象を組み合わせて表すことができないかを考えます。

まず、事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)を『サイコロの目の最大値が\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)以下となる』とします。

このとき
　事象\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)を『サイコロの目の最大値が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)以下となる』
　事象\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)を『サイコロの目の最大値が\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)となる』
とすると、事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)は事象\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)と事象\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)の和事象となります。

ここで、事象\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)と事象\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)は同時に起こらないため、互いに排反となります。

よって、事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)の起こる確率は $$ \begin{aligned} P(A) & = P( B \cup C) \\[0.7em] & = P(B) + P(C) \\[0.7em] \end{aligned} $$ となります。

求めたい確率は\(\hspace{1pt}P(C)\hspace{1pt}\)であることから $${P(C) =P(A) - P(B)}$$ と式変形して計算します。

まず、『サイコロの目の最大値が\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)以下である』という事象の確率\(\hspace{1pt}P(A)\hspace{1pt}\)を求めます。
サイコロの目の最大値が\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)以下であるとき、各サイコロの目が\(\hspace{2pt}1 , 2 , 3 , 4\hspace{2pt}\)のどれかであればよいので、\(\hspace{1pt}4^3\hspace{1pt}\)通りとなります。

すなわち、サイコロの目の最大値が\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)以下の確率は $$ \begin{aligned} P(A) & = \frac{4^3}{6^3} \\[0.7em] & = \frac{8}{27} \\[0.7em] \end{aligned} $$ となります。

また、『サイコロの目の最大値が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)以下である』という事象の確率は、問題(1)の結果から\(\displaystyle\hspace{1pt}P(B)=\frac{1}{8}\hspace{1pt}\)となります。

したがって、サイコロの目の最大値が\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)となる確率\(\hspace{1pt}P(C)\hspace{1pt}\)は $$ \begin{aligned} P(C) & = P(A) - P(B) \\[0.7em] & =\frac{8}{27} - \frac{1}{8}\\[0.7em] & = \frac{37}{216}\\[0.7em] \end{aligned} $$ となります。
　

【関連するページ】
・確率の定義

・確率の性質(排反事象)