3色の玉を引く確率の問題

【答え】
(1) \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{7}{11}\hspace{3pt}\)

(2) \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{3}{44}\hspace{3pt}\)

(3) \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{29}{44}\hspace{3pt}\)
　

【(1)の解答】
　問題 :『赤玉\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)個、白玉\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)個、青玉\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個から同時に\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個の玉を取り出すとき、赤玉が\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個以下となる確率を求めよ』

まず、\(12\hspace{1pt}\)個の玉から\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個の玉を取り出す場合の数は $$ \begin{aligned} {}_{12} C_3 & = \frac{{}_{12} P_3}{3!} \\[0.7em] & = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1}\\[0.7em] & = 220 \\[0.7em] \end{aligned} $$ よって、\(220\hspace{1pt}\)通りとなります。

ここで、赤玉の個数が\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)個となる事象を\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\), 赤玉の個数が\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個となる事象を\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)とします。

赤玉の個数が\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)個となるとき、赤玉以外の\(\hspace{1pt}7\hspace{1pt}\)個の玉から\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個を取り出せばよいので $$ \begin{aligned} {}_7 C_3 & = \frac{{}_7 P_3}{3!} \\[0.7em] & = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1}\\[0.7em] & = 35\\[0.7em] \end{aligned} $$ よって、\(35\hspace{1pt}\)通りとなります。

したがって、赤玉の個数が\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)個となる確率は\(\displaystyle\hspace{1pt} P(A)=\frac{35}{220} \hspace{1pt}\)となります。

また、赤玉の個数が\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個となるとき、\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)個の赤玉から\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個、赤玉以外の\(\hspace{1pt}7\hspace{1pt}\)個の玉から\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個を取り出せばよいので $$ \begin{aligned} {}_5 C_1 \times {}_7 C_2 & = \frac{{}_5 P_1}{1!} \times \frac{{}_7 P_2}{2!}\\[0.7em] & =5 \times \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1}\\[0.7em] & = 5 \times 21\\[0.7em] & = 105\\[0.7em] \end{aligned} $$ よって、\(105\hspace{1pt}\)通りとなります。

したがって、赤玉の個数が\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個となる確率は\(\displaystyle\hspace{1pt} P(B)=\frac{105}{220} \hspace{1pt}\)となります。

ここで、事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)と事象\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)は同時に起こらないため、互いに排反となります。

すなわち、求める確率は $$ \begin{aligned} & P(A \cup B) \\[0.7em] & = P(A) + P(B) \\[0.5em] & = \frac{35}{220} + \frac{105}{220}\\[0.7em] & = \frac{140}{220}\\[0.7em] & = \frac{7}{11}\\[0.7em] \end{aligned} $$

したがって、赤玉が\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個以下となる確率は\(\displaystyle\hspace{1pt} \frac{7}{11}\hspace{1pt}\)となります。
　

【(2)の解答】
　問題 :『赤玉\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)個、白玉\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)個、青玉\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個から同時に\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個の玉を取り出すとき、\(3\hspace{1pt}\)個とも同じ色となる確率を求めよ』

赤玉を\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個引く事象を\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\), 白玉を\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個引く事象を\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\), 青玉を\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個引く事象を\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)とします。

\(3\hspace{1pt}\)個とも同じ色となる事象は事象\(\hspace{1pt}A,B,C\hspace{1pt}\)の和事象となります。

赤玉の個数が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個となるとき、赤玉\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)個から\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個を取り出せばよいので $$ \begin{aligned} {}_5 C_3 & = \frac{{}_5 P_3}{3!} \\[0.7em] & = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1}\\[0.7em] & = 10\\[0.7em] \end{aligned} $$ よって、\(10\hspace{1pt}\)通りとなります。

したがって、赤玉の個数が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個となる確率は\(\displaystyle\hspace{1pt} P(A)=\frac{10}{220} \hspace{1pt}\)となります。

白玉の個数が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個となるとき、白玉\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)個から\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個を取り出せばよいので $$ \begin{aligned} {}_4 C_3 & = \frac{{}_4 P_3}{3!} \\[0.7em] & = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{3 \cdot 2 \cdot 1}\\[0.7em] & = 4\\[0.7em] \end{aligned} $$ よって、\(4\hspace{1pt}\)通りとなります。

したがって、白玉の個数が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個となる確率は\(\displaystyle\hspace{1pt} P(B)=\frac{4}{220} \hspace{1pt}\)となります。

青玉の個数が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個となるとき、青玉\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個から\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個を取り出せばよいので $${{}_3 C_3 = 1}$$ よって、\(1\hspace{1pt}\)通りとなります。

したがって、青玉の個数が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個となる確率は\(\displaystyle\hspace{1pt} P(C)=\frac{1}{220} \hspace{1pt}\)となります。

ここで 事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)、事象\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)、事象\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)は同時に起こらないため、互いに排反となります。

すなわち、求める確率は $$ \begin{aligned} & P(A \cup B \cup C) \\[0.7em] & = P(A) + P(B) + P(C) \\[0.7em] & = \frac{10}{220} + \frac{4}{220} + \frac{1}{220}\\[0.7em] & = \frac{15}{220}\\[0.7em] & = \frac{3}{44}\\[0.7em] \end{aligned} $$

したがって、\(3\hspace{1pt}\)個とも同じ色となる確率は\(\displaystyle\hspace{1pt} \frac{3}{44}\hspace{1pt}\)となります。
　

【(3)の解答】
　問題 :『赤玉\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)個、白玉\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)個、青玉\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個から同時に\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個の玉を取り出すとき、取り出した玉の色が\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)色である確率を求めよ』

\(3\hspace{1pt}\)個とも同じ色となる事象を\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\), \(3\hspace{1pt}\)個とも異なる色となる事象を\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)とします。

このとき、『取り出した玉の色が\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)色である』ことの余事象は『"\(3\hspace{1pt}\)個とも同じ色となる" または "\(3\hspace{1pt}\)個とも異なる色となる"』となります。

すなわち、求める確率は $${1 - P(A \cup B)}$$ となります。

\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個とも同じ色となる確率は、問題(2)から\(\displaystyle\hspace{1pt} P(A)=\frac{3}{44} \hspace{1pt}\)となります。

また、\(3\hspace{1pt}\)個とも異なる色となる場合の数は、赤玉から\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個、白玉から\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個、青玉から\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個を取り出せばよいので $$ \begin{aligned} & {}_5 C_1 \times {}_4 C_1 \times {}_3 C_1\\[0.7em] & = 5 \times 4 \times 3 \\[0.7em] & = 60\\[0.7em] \end{aligned} $$ よって、\(60\hspace{1pt}\)通りとなります。

すなわち、\(3\hspace{1pt}\)個とも異なる色となる確率は\(\displaystyle\hspace{1pt} P(B)=\frac{60}{220} =\frac{3}{11} \hspace{1pt}\)となります。

ここで 事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)と事象\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)は同時に起こらないため、互いに排反となることから、求める確率は $$ \begin{aligned} & 1- P(A \cup B ) \\[0.7em] & =1 - ( P(A) + P(B) ) \\[0.7em] & = 1 - \left(\frac{3}{44} + \frac{3}{11}\right)\\[0.7em] & = \frac{29}{44}\\[0.7em] \end{aligned} $$

したがって、取り出した玉の色が\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)色である確率は \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{29}{44}\hspace{1pt}\) となります。
　

【関連するページ】
・確率の定義

・確率の性質(排反事象)