◆第問目！
事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)の起こる場合の数を\(\hspace{1pt}a\hspace{1pt}\)、起こりうる全ての場合の数を\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)とするとき、事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)の起こる確率\(\hspace{1pt}P(A)\hspace{1pt}\)は $${P(A) = \frac{a}{N}}$$ と求められます。
\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個とも赤玉である事象を\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\),\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個とも白玉である事象を\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)とします。
ここで、事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)と事象\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)は同時に起こらないことから、互いに排反となります。
互いに排反である事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)と事象\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)の和事象の確率は $${P(A \cup B) = P(A) + P(B)}$$ から求められます。
『少なくとも\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個ずつ〇〇と××を選ぶ』 や 『〇〇と××をともに選ぶ』という条件のある確率を求める問題は、余事象の性質を利用することが定番です。
本問では『少なくとも\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個ずつ赤玉と白玉を選ぶ』ことの余事象が『\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個とも同じ色の玉を選ぶ』であることを利用して確率を計算します。
【答え】
(1) \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{1}{6}\hspace{3pt}\)
(2) \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{5}{6}\hspace{3pt}\)
【(1)の解答】
問題 :『赤玉\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)個と白玉\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)個が入っている袋から同時に\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個の玉を取り出すとき、\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個とも同じ色である確率を求めよ』
まず、\(9\hspace{1pt}\)個の玉から\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個の玉を取り出す場合の数は $$ \begin{aligned} {}_9 C_3 & = \frac{{}_9 P_3}{3!} \\[0.7em] & = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1}\\[0.7em] & = 84 \\[0.7em] \end{aligned} $$ よって、\(84\hspace{1pt}\)通りとなります。
ここで、\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個とも赤玉を取り出す事象を\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\),\(\hspace{3pt}3\hspace{1pt}\)個とも白玉を取り出す事象を\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)とします。
\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個とも赤玉である場合の数を求めると、\(5\hspace{1pt}\)個の赤玉から\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個の玉を取り出す場合の数を求めればよいので $$ \begin{aligned} {}_5 C_3 & = \frac{{}_5 P_3}{3!} \\[0.7em] & = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1}\\[0.7em] & = 10\\[0.7em] \end{aligned} $$ よって、\(10\hspace{1pt}\)通りとなります。
したがって、\(3\hspace{1pt}\)個とも赤玉である確率は\(\displaystyle\hspace{1pt} P(A)=\frac{10}{84} \hspace{1pt}\)となります。
また、\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個とも白玉である場合の数を求めると、\(4\hspace{1pt}\)個の白玉から\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個の玉を取り出す場合の数を求めればよいので $$ \begin{aligned} {}_4 C_3 & = \frac{{}_4 P_3}{3!} \\[0.7em] & = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{3 \cdot 2 \cdot 1}\\[0.7em] & = 4\\[0.7em] \end{aligned} $$ よって、\(4\hspace{1pt}\)通りとなります。
したがって、\(3\hspace{1pt}\)個とも白玉である確率は\(\displaystyle\hspace{1pt} P(B)=\frac{4}{84} \hspace{1pt}\)となります。
ここで、事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)と事象\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)は同時に起こらないため、互いに排反となります。
すなわち、求める確率は $$ \begin{aligned} & P(A \cup B) \\[0.7em] & = P(A) + P(B) \\[0.7em] & = \frac{10}{84} + \frac{4}{84}\\[0.7em] & = \frac{14}{84}\\[0.7em] & = \frac{1}{6}\\[0.7em] \end{aligned} $$
したがって、\(3\hspace{1pt}\)個とも同じ色である確率は\(\displaystyle\hspace{1pt} \frac{1}{6}\hspace{1pt}\)となります。
【(2)の解答】
問題 :『赤玉\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)個と白玉\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)個が入っている袋から同時に\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個の玉を取り出すとき、少なくとも\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個ずつ赤玉と白玉を選ぶ確率を求めよ』
『少なくとも\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個ずつ赤玉と白玉を選ぶ』ことの余事象は『\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個とも同じ色の玉を選ぶ』こととなります。
すなわち、問題(1)の結果を利用すると、余事象の性質から $$1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$$ となります。
したがって、少なくとも\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個ずつ赤玉と白玉を選ぶ確率は\(\displaystyle\hspace{1pt} \frac{5}{6} \hspace{1pt}\)となります。
【関連するページ】
・確率の定義