◆第問目！
事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)の起こる場合の数を\(\hspace{1pt}a\hspace{1pt}\)、起こりうる全ての場合の数を\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)とするとき、事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)の起こる確率\(\hspace{1pt}P(A)\hspace{1pt}\)は $${P(A) = \frac{a}{N}}$$ と求められます。
本問のように数字の書かれたカードを\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)枚の引くときの確率の問題では、条件に当てはまる数字が何通りあるかを書き並べて数えます。
『\(\hspace{1pt}k\hspace{1pt}\)で割ると余りが\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)の数』を一般的な式で書き表すと、\(n\hspace{1pt}\)を整数とするとき、\(kn\hspace{1pt}\)となることを利用すると、簡単に数え上げることができます。
また、本問では『\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数を引く』ことと『\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)の倍数を引く』ことは互いに排反事象でないことから、共通部分となる『\(15\hspace{1pt}\)の倍数を引く』ときの確率も求める必要があります。
『\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数でも\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)の倍数でもない数を引く』ことの余事象が『\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数または\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)の倍数の数を引く』ことであることを利用して確率を求めます。
【答え】
(1) \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{47}{100}\hspace{3pt}\)
(2) \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{53}{100}\hspace{3pt}\)
【(1)の解答】
問題 :『\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}100\hspace{1pt}\)までの数字の振られたカードを一回引くとき、\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数または\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)の倍数の確率を求めよ』
まず、全てのカードの引き方は\(\hspace{1pt}100\hspace{1pt}\)通りとなります。
次に \(3\hspace{1pt}\)の倍数の数を引くことを事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)、\(5\hspace{1pt}\)の倍数の数を引くことを事象\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)とします。
事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)の\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数となる数を書き並べると $${\{3 \times 1\} , \{3 \times 2\} , \cdots , \{3 \times 33\}}$$ の\(\hspace{1pt}33\hspace{1pt}\)通りとなります。
事象\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)の\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)の倍数となる数を書き並べると $${\{5 \times 1\} , \{5 \times 2\} , \cdots , \{5 \times 20\}}$$ の\(\hspace{1pt}20\hspace{1pt}\)通りとなります。
ここで、事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)と事象\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)が互いに排反事象でないことから、事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)と事象\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)の共通部分\(\hspace{1pt}A \cap B\hspace{1pt}\)となる確率も求める必要があります。
\(3\hspace{1pt}\)の倍数と\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)の倍数の共通部分は、\(15\hspace{1pt}\)の倍数の数であるので $${\{15 \times 1\} , \{15 \times 2\} , \cdots , \{15 \times 6\}}$$ の\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)通りとなります。
よって、\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数または\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)の倍数の数を引く確率は
$$
\begin{aligned}
& P(A \cup B)\\[0.7em]
& = P(A ) + P(B ) - P(A \cap B) \\[0.7em]
& = \frac{33}{100} + \frac{20}{100} - \frac{6}{100}\\[0.7em]
& = \frac{47}{100}\\[0.7em]
\end{aligned}
$$
したがって、\(3\hspace{1pt}\)の倍数または\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)の倍数の数を引く確率は\(\displaystyle\hspace{1pt} \frac{47}{100} \hspace{1pt}\)となります。
【(2)の解答】
問題 :『\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}100\hspace{1pt}\)までの数字の振られたカードを一回引くとき、\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数でも\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)の倍数でもない確率を求めよ』
『\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数でも\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)でもない数を引く』ことの余事象は『\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数または\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)の数を引く』となります。
すなわち、余事象の性質から $$1 - \frac{47}{100} = \frac{53}{100}$$ となります。
したがって、カードの数字が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数でも\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)でもない確率は\(\displaystyle\hspace{1pt} \frac{53}{100} \hspace{1pt}\)となります。
【関連するページ】
・確率の定義