少なくとも1本当たりを引く確率の問題

【答え】
(1) \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{12}{55}\hspace{3pt}\)

(2) \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{13}{55}\hspace{3pt}\)

(3) \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{41}{55}\hspace{3pt}\)
　

【(1)の解答】
　問題 :『\(12\hspace{1pt}\)本のうち当たりが\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)本入っているくじから、同時に\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)本引くとき、当たりを\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)本だけ引く確率を求めよ』

まず、\(12\hspace{1pt}\)本のくじから\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)本のくじを引く場合の数は $$ \begin{aligned} {}_{12} C_4 & = \frac{{}_{12} P_4}{4!} \\[0.7em] & = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\\[0.7em] & = 495 \\[0.7em] \end{aligned} $$ よって、\(495\hspace{1pt}\)通りとなります。

次に、\(12\hspace{1pt}\)本のくじから\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)本の当たりくじを引く場合の数は、\(3\hspace{1pt}\)本の当たりから\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)本、\(9\hspace{1pt}\)本の外れくじから\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)本引けばよいので $$ \begin{aligned} & {}_3 C_2 \times {}_9 C_2 \\[0.7em] & = \frac{{}_3 P_2}{2!} \times \frac{{}_9 P_2}{2!} \\[0.7em] & = \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 1} \times \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1} \\[0.7em] & = 3 \times 36 \\[0.7em] & = 108 \\[0.7em] \end{aligned} $$ よって、\(108\hspace{1pt}\)通りとなります。

したがって、\(2\hspace{1pt}\)本だけ当たりを引く確率は\(\displaystyle\hspace{1pt} \frac{108}{495} = \frac{12}{55}\hspace{1pt}\)となります。
　

【(2)の解答】
　問題 :『\(12\hspace{1pt}\)本のうち当たりが\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)本入っているくじから、同時に\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)本引くとき、当たりを\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)本以上引く確率を求めよ』

当たりを\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)本以上引く事象は
　・当たりを\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)本引く
　・当たりを\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)本引く
という\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの事象の和事象となります。

ここで、当たりを\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)本引く事象を\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\), 当たりを\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)本引く事象を\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)とします。

事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)の起こる確率は、問題(1)より\(\displaystyle\hspace{1pt}P(A)=\frac{12}{55}\hspace{1pt}\)となります。

また、事象\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)の当たりを\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)本引く場合の数を求めると、\(3\hspace{1pt}\)本の当たりから\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)本、\(9\hspace{1pt}\)本の外れくじから\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)本引けばよいので $$ \begin{aligned} & {}_3 C_3 \times {}_9 C_1 \\[0.7em] & = 1 \times 9 \\[0.7em] & = 9 \\[0.7em] \end{aligned} $$ よって、\(9\hspace{1pt}\)通りとなります。

したがって、\(3\hspace{1pt}\)本だけ当たりを引く確率は\(\displaystyle\hspace{1pt} P(B)=\frac{9}{495} = \frac{1}{55}\hspace{1pt}\)となります。

ここで、事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)と事象\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)は同時に起こらないため、互いに排反となります。

すなわち、求める確率は $$ \begin{aligned} & P(A \cup B) \\[0.7em] & = P(A) + P(B) \\[0.7em] & = \frac{12}{55} + \frac{1}{55}\\[0.7em] & = \frac{13}{55}\\[0.7em] \end{aligned} $$

したがって、当たりを\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)本以上引く確率は\(\displaystyle\hspace{1pt} \frac{13}{55}\hspace{1pt}\)となります。
　

【(3)の解答】
　問題 :『\(12\hspace{1pt}\)本のうち当たりが\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)本入っているくじから、同時に\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)本引くとき、少なくとも\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)本は当たりを引く確率を求めよ』

『少なくとも\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)本は当たりを引く』ことの余事象は『\(4\hspace{1pt}\)本とも外れる』となります。

\(4\hspace{1pt}\)本とも外れる場合の数は、\(9\hspace{1pt}\)本の外れくじから\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)本引けばよいので $$ \begin{aligned} {}_9 C_4 & = \frac{{}_9 P_4}{4!} \\[0.7em] & = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\[0.7em] & = 126 \\[0.7em] \end{aligned} $$ よって、\(126\hspace{1pt}\)通りとなります。

すなわち、\(4\hspace{1pt}\)本とも外れる確率は\(\displaystyle\hspace{1pt} \frac{126}{495} =\frac{14}{55} \hspace{1pt}\)となります。

したがって、少なくとも\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)本は当たりを引く確率は $${1 - \frac{14}{55} = \frac{41}{55} }$$

したがって、求める確率は \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{41}{55}\hspace{1pt}\) となります。
　

【関連するページ】
・確率の定義

・確率の性質(排反事象)