◆第問目！
事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)の起こる場合の数を\(\hspace{1pt}a\hspace{1pt}\)、起こりうる全ての場合の数を\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)とするとき、事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)の起こる確率\(\hspace{1pt}P(A)\hspace{1pt}\)は $${P(A) = \frac{a}{N}}$$ と求められます。
本問のように、赤玉\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個と白玉\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)個が入っている袋から、赤玉\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個を取り出す確率を求めるときは
起こりうる全ての場合の数が
『\(7\hspace{1pt}\)個の玉から\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の玉を取り出す場合の数』
事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)の起こる場合の数が
『\(3\hspace{1pt}\)個の赤玉から\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の赤玉を取り出す場合の数』
と対応します。
\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個とも赤玉である事象を\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\),\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個とも白玉である事象を\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)とします。
ここで、事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)と事象\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)は同時に起こらないことから、互いに排反となります。
互いに排反である事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)と事象\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)のどちらかが起こる確率は $${P(A \cup B) = P(A) + P(B)}$$ から求められます。
【答え】
(1) \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{1}{7}\hspace{3pt}\)
(2) \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{3}{7}\hspace{3pt}\)
【(1)の解答】
問題 :『赤玉\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個と白玉\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)個が入っている袋から同時に\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の玉を取り出すとき、\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個とも赤玉である確率を求めよ』
まず、\(7\hspace{1pt}\)個の玉から\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の玉を取り出す場合の数は $$ \begin{aligned} {}_7 C_2 & = \frac{{}_7 P_2}{2!} \\[0.7em] & = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1}\\[0.7em] & = 21 \\[0.7em] \end{aligned} $$ よって、\(21\hspace{1pt}\)通りとなります。
次に \(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個とも赤玉である場合の数を求めると、\(3\hspace{1pt}\)個の赤玉から\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の玉を取り出す場合の数を求めればよいので $$ \begin{aligned} {}_3 C_2 & = \frac{{}_3 P_2}{2!} \\[0.7em] & = \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 1}\\[0.7em] & = 3\\[0.7em] \end{aligned} $$ よって、\(3\hspace{1pt}\)通りとなります。
したがって、\(2\hspace{1pt}\)個とも赤玉である確率は\(\displaystyle\hspace{1pt} \frac{3}{21} = \frac{1}{7}\hspace{1pt}\)となります。
【(2)の解答】
問題 :『赤玉\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個と白玉\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)個が入っている袋から同時に\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の玉を取り出すとき、\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個とも同じ色の玉である確率を求めよ』
\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個とも赤玉である事象を\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\),\(\hspace{3pt}2\hspace{1pt}\)個とも白玉である事象を\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)とします。
事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)の起こる確率は問題(1)より\(\displaystyle\hspace{1pt}P(A)=\frac{1}{7}\hspace{1pt}\)となります。
また、\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個とも白玉である場合の数を求めると、\(4\hspace{1pt}\)個の白玉から\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の玉を取り出す場合の数を求めればよいので $$ \begin{aligned} {}_4 C_2 & = \frac{{}_4 P_2}{2!} \\[0.7em] & = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1}\\[0.7em] & = 6\\[0.7em] \end{aligned} $$ よって、\(6\hspace{1pt}\)通りとなります。
したがって、\(2\hspace{1pt}\)個とも白玉である確率は\(\displaystyle\hspace{1pt} P(B)=\frac{6}{21} = \frac{2}{7}\hspace{1pt}\)となります。
ここで、事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)と事象\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)は同時に起こらないため、互いに排反となります。
すなわち、求める確率は $$ \begin{aligned} & P(A \cup B) \\[0.7em] & = P(A) + P(B) \\[0.7em] & = \frac{1}{7} + \frac{2}{7}\\[0.7em] & = \frac{3}{7}\\[0.7em] \end{aligned} $$
したがって、\(2\hspace{1pt}\)個とも同じ色である確率は\(\displaystyle\hspace{1pt} \frac{3}{7}\hspace{1pt}\)となります。
【関連するページ】
・確率の定義