◆第問目！
事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)の起こる場合の数を\(\hspace{1pt}a\hspace{1pt}\)、起こりうる全ての場合の数を\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)とするとき、事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)の起こる確率\(\hspace{1pt}P(A)\hspace{1pt}\)は $${P(A) = \frac{a}{N}}$$ と求められます。
本問のように数字の書かれたカードを\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)枚の引くときの確率の問題では、条件に当てはまる数字が何通りあるかを書き並べて数えます。
『\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)で割ると余りが\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)の数』を一般的な式で書き表すと、\(n\hspace{1pt}\)を整数とするとき、\(3n\hspace{1pt}\)となることを利用すると、簡単に数え上げることができます。
\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数でない数を全て数えるのは手間がかかります。
そこで、『\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数でない数を引く』ことの余事象が『\(3\hspace{1pt}\)の倍数である数を引く』であることを利用して確率を求めます。
『\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)で割ると\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)余る数』を一般的な式で書き表すと、\(n\hspace{1pt}\)を整数とするとき $${ 3 \times n + 1}$$ と表せることを利用すると、簡単に数を数えることができます。
【答え】
(1) \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{33}{100}\hspace{3pt}\)
(2) \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{67}{100}\hspace{3pt}\)
(3) \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{17}{50}\hspace{3pt}\)
【(1)の解答】
問題 :『\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}100\hspace{1pt}\)までの数字の振られたカードを一回引くとき、\(3\hspace{1pt}\)の倍数である確率を求めよ』
まず、全てのカードの引き方は\(\hspace{1pt}100\hspace{1pt}\)通りとなります。
次に \(1\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}100\hspace{1pt}\)までの数のうち、\(3\hspace{1pt}\)の倍数となる数を書き並べると $${\{3 \times 1\} , \{3 \times 2\} , \cdots , \{3 \times 33\}}$$ の\(\hspace{1pt}33\hspace{1pt}\)通りとなります。
したがって、カードの数字が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数である確率は\(\displaystyle\hspace{1pt} \frac{33}{100} \hspace{1pt}\)となります。
【(2)の解答】
問題 :『\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}100\hspace{1pt}\)までの数字の振られたカードを一回引くとき、\(3\hspace{1pt}\)の倍数でない確率を求めよ』
『\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数でない数を引く』ことの余事象は『\(3\hspace{1pt}\)の倍数である数を引く』となります。
すなわち、余事象の性質から $$1 - \frac{33}{100} = \frac{67}{100}$$ となります。
したがって、カードの数字が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数でない確率は\(\displaystyle\hspace{1pt} \frac{67}{100} \hspace{1pt}\)となります。
【(3)の解答】
問題 :『\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}100\hspace{1pt}\)までの数字の振られたカードを一回引くとき、\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)で割ると\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)余る数字である確率を求めよ』
\(1\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}100\hspace{1pt}\)までの数のうち、\(3\hspace{1pt}\)で割ると\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)余る数を書き並べると $$ \begin{aligned} & \{3 \times 0 + 1\} , \\[0.7em] & \{3 \times 1 + 1\} ,\\[0.7em] & \cdots \\[0.7em] & \{3 \times 33 + 1\}\\[0.7em] \end{aligned} $$ の\(\hspace{1pt}34\hspace{1pt}\)通りとなります。
したがって、カードの数字が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)で割ると\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)余る数字である確率は\(\displaystyle\hspace{1pt} \frac{34}{100} = \frac{17}{50} \hspace{1pt}\)となります。
【関連するページ】
・確率の定義