◆第問目！
事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)の起こる場合の数を\(\hspace{1pt}a\hspace{1pt}\)、起こりうる全ての場合の数を\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)とするとき、事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)の起こる確率\(\hspace{1pt}P(A)\hspace{1pt}\)は $${P(A) = \frac{a}{N}}$$ と求められます。
本問のように\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個のサイコロの和や積がある条件を満たすときの確率は、出る目の組み合わせを書き並べると、事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)の起こる場合の数\(\hspace{1pt}a\hspace{1pt}\)を簡単に求めることができます。
例えば、大のサイコロの目が\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)、小のサイコロの目が\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)のときに $${(2,5)}$$ などと書いて目の組み合わせを書き並べます。
それ以外には、樹形図を使用して調べる方法も有効です。
\(2\hspace{1pt}\)個のサイコロの目の和が\(\hspace{1pt}9\hspace{1pt}\)以上となるとき
・[1] 目の和が\(\hspace{1pt}9\hspace{1pt}\)
・[2] 目の和が\(\hspace{1pt}10\hspace{1pt}\)
・[3] 目の和が\(\hspace{1pt}11\hspace{1pt}\)
・[4] 目の和が\(\hspace{1pt}12\hspace{1pt}\)
となる目の組を数え上げ、場合の数を求めます。
\(2\hspace{1pt}\)個のサイコロの目の和が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数となるとき
・[1] 目の和が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)
・[2] 目の和が\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)
・[3] 目の和が\(\hspace{1pt}9\hspace{1pt}\)
・[4] 目の和が\(\hspace{1pt}12\hspace{1pt}\)
となる目の組を数え上げ、場合の数を求めます。
\(2\hspace{1pt}\)個のサイコロのどちらとも奇数の目が出たとき、目の積が奇数となります。
【答え】
(1) \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{5}{36}\hspace{3pt}\)
(2) \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{5}{18}\hspace{3pt}\)
(3) \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{1}{3}\hspace{3pt}\)
(4) \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{1}{4}\hspace{3pt}\)
【(1)の解答】
問題 :『大小\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個のサイコロを振るとき、目の和が\(\hspace{1pt}8\hspace{1pt}\)になる確率を求めよ』
まず、全てのサイコロの目の出方は\(\hspace{1pt}6 \times 6 = 36\hspace{1pt}\)通りとなります。
また、\(2\hspace{1pt}\)個のサイコロの目の和が\(\hspace{1pt}8\hspace{1pt}\)となる目の組み合わせを書き並べると $$ \begin{aligned} & (2,6) , (3 , 5) , (4 ,4) \\[0.7em] & (5,3) , (6 , 2)\\[0.7em] \end{aligned} $$ となることから、\(5\hspace{1pt}\)通りとなります。
したがって、目の和が\(\hspace{1pt}8\hspace{1pt}\)となる確率は\(\displaystyle\hspace{1pt} \frac{5}{36} \hspace{1pt}\)となります。
【(2)の解答】
問題 :『大小\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個のサイコロを振るとき、目の和が\(\hspace{1pt}9\hspace{1pt}\)以上になる確率を求めよ』
\(2\hspace{1pt}\)個のサイコロの目の和が\(\hspace{1pt}9\hspace{1pt}\)以上となる目の組み合わせを書き並べると
目の和が\(\hspace{1pt}9\hspace{1pt}\)のとき $${(3,6) , (4 , 5) , (5 ,4) , (6 ,3) }$$ 目の和が\(\hspace{1pt}10\hspace{1pt}\)のとき $${(4,6) , (5 , 5) , (6 , 4) }$$ 目の和が\(\hspace{1pt}11\hspace{1pt}\)のとき $${ (5 , 6) , (6 , 5) }$$ 目の和が\(\hspace{1pt}12\hspace{1pt}\)のとき $${(6,6) }$$ となることから、\(10\hspace{1pt}\)通りとなります。
したがって、目の和が\(\hspace{1pt}9\hspace{1pt}\)以上になる確率は\(\displaystyle\hspace{1pt} \frac{10}{36} = \frac{5}{18} \hspace{1pt}\)となります。
【(3)の解答】
問題 :『大小\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個のサイコロを振るとき、目の和が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数になる確率を求めよ』
\(2\hspace{1pt}\)個のサイコロの目の和が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数となるとき、サイコロの和は\(\hspace{1pt}3,6,9,12\hspace{1pt}\)のいずれかになります。
目の和が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)のとき $${(1,2) , (2 , 1) }$$ 目の和が\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)のとき $${(1,5) , (2 , 4) , (3,3) , (4 , 2) , (5,1) }$$ 目の和が\(\hspace{1pt}9\hspace{1pt}\)のとき $${(3,6) , (4 , 5) , (5,4) , (6 , 3) }$$ 目の和が\(\hspace{1pt}12\hspace{1pt}\)のとき $${(6,6) }$$ となることから、\(12\hspace{1pt}\)通りとなります。
したがって、目の和が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数になる確率は\(\displaystyle\hspace{1pt} \frac{12}{36} = \frac{1}{3} \hspace{1pt}\)となります。
【(4)の解答】
問題 :『大小\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個のサイコロを振るとき、目の積が奇数になる確率を求めよ』
\(2\hspace{1pt}\)個のサイコロのどちらとも奇数の目が出たとき、目の積が奇数となります。
\(2\hspace{1pt}\)個のサイコロの目が奇数となる組み合わせを書き並べると $$ \begin{aligned} & (1,1) , (1 , 3) , (1 ,5) \\[0.7em] & (3,1) , (3 , 3) , (3 , 5)\\[0.7em] & (5 , 1) , (5 , 3) , (5 , 5)\\[0.7em] \end{aligned} $$ となることから、\(9\hspace{1pt}\)通りとなります。
したがって、目の積が奇数になる確率は\(\displaystyle\hspace{1pt} \frac{9}{36} = \frac{1}{4} \hspace{1pt}\)となります。
【関連するページ】
・確率の定義