◆第問目！
\(\hspace{1pt}x + y + z = 9\hspace{1pt}\)を満たす整数の組\(\hspace{1pt}(x,y,z)\hspace{1pt}\)の数は、重複を許して取る組み合わせの考え方から導くことができます。
\(9\hspace{1pt}\)個の『\(\hspace{1pt} \bigcirc\hspace{1pt}\)』と\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の仕切り『|』を並べ、仕切りの左側から\(\hspace{1pt}x,y,z\hspace{1pt}\)とすることで整数の組の数を求められます。
例えば、\(x=4\hspace{1pt}\)、\(y=3\hspace{1pt}\)、\(z = 2\hspace{1pt}\)となるときは $${ \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc | \bigcirc \bigcirc \bigcirc | \bigcirc \bigcirc}$$ と記号を並べたときに対応すると考えます。
上記のような順列の数は『同じものを含む順列の公式』から計算できます。
異なる\({\hspace{1pt}n\hspace{2pt}}\)個のものから\({\hspace{1pt}p\hspace{2pt}}\)個の同じもの、別の種類の\({\hspace{1pt}q\hspace{2pt}}\)個の同じもの、別の種類の\({\hspace{1pt}r\hspace{2pt}}\)個の同じもの\({\hspace{1pt}\cdots\hspace{2pt}}\)を取り出して並べる並べ方の総数は以下の式で計算されます。
$$ \displaystyle{\frac{n\hspace{1pt}!}{p\hspace{1pt}!\hspace{1pt}q\hspace{1pt}!\hspace{1pt}r\hspace{1pt}!\cdots}}$$ ただし、\({\hspace{1pt}p+q+r+\cdots = n\hspace{1pt}}\)
本問では、\(x \geqq 1 , y \geqq 1 , z \geqq 1\hspace{1pt}\)の条件から、『〇』を\(\hspace{1pt}x,y,z\hspace{1pt}\)に\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個ずつ先に割り振ると考えます。
問題(1)における『〇』が\(\hspace{1pt}n\hspace{1pt}\)個あると考えて、同じものを含む順列の公式を適用します。
問題(2)の結果を利用して、\(3\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}n\hspace{1pt}\)までの組の数の和を\(\hspace{1pt}n\hspace{1pt}\)を用いて表します。
【答え】
(1) \(\hspace{1pt}28\hspace{1pt}\)通り
(2) \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{1}{2}(n-1)(n-2)\hspace{1pt}\)通り
(3) \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{1}{6} n(n-1)(n-2)\hspace{1pt}\)通り
【(1)の解答】
問題 :『 \(x + y + z = 9 \) を満たす正の整数の組\(\hspace{1pt}(x,y,z)\hspace{1pt}\)は何通りあるか求めよ。』
\(\hspace{1pt}x + y + z = 9\hspace{1pt}\)を満たす整数の組\(\hspace{1pt}(x,y,z)\hspace{1pt}\)の数は、重複を許して取る組み合わせの考え方から導くことができます。
\(9\hspace{1pt}\)個の『\(\hspace{1pt} \bigcirc\hspace{1pt}\)』と\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の仕切り『|』を並べ、仕切りの左側から\(\hspace{1pt}x,y,z\hspace{1pt}\)とすることで求める整数の組の数を求められます。
ここで、\(\hspace{1pt}x \geqq 1 , y \geqq 1 , z \geqq 1\hspace{1pt}\)の条件より、先に\(\hspace{2pt}x,y,z\hspace{1pt}\)に『\(\hspace{1pt} \bigcirc\hspace{1pt}\)』を\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個ずつ割り振ってから、\(6\hspace{1pt}\)個の『\(\hspace{1pt} \bigcirc\hspace{1pt}\)』と\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の仕切り『|』を並べるとすることで正の整数の組の数を求められます。
\(6\hspace{1pt}\)個の『\(\hspace{1pt} \bigcirc\hspace{1pt}\)』と\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の仕切り『|』を並べる順列の数は、同じものを含む順列の公式から $${\frac{8!}{ 6! 2!} = 28}$$
したがって 求める正の整数の組の数は\(\hspace{1pt}28\hspace{1pt}\)通りとなります。
【(2)の解答】
問題 :『 \(x + y + z = n \) を満たす正の整数の組\(\hspace{1pt}(x,y,z)\hspace{1pt}\)は何通りあるか求めよ。ただし、\(n\hspace{1pt}\)は\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)以上の整数とする。』
問題(1)と同様に\(\hspace{2pt}x \geqq 1 , y \geqq 1 , z \geqq 1\hspace{1pt}\)の条件より、先に\(\hspace{2pt}x,y,z\hspace{2pt}\)に『\(\hspace{1pt} \bigcirc\hspace{1pt}\)』を\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個ずつ割り振ってから、\(n-3\hspace{1pt}\)個の『\(\hspace{1pt} \bigcirc\hspace{1pt}\)』と\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の仕切り『|』を並べ、仕切りの左側から\(\hspace{1pt}x,y,z\hspace{1pt}\)とすることで正の整数の組の数を求められます。
\(n-3\hspace{1pt}\)個の『\(\hspace{1pt} \bigcirc\hspace{1pt}\)』と\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の仕切り『|』を並べる順列の数は、同じものを含む順列の公式から $${\frac{(n-1)!}{ (n-3)! 2!} }= \frac{1}{2}(n-1)(n-2)$$
したがって 求める整数の組の数は\(\displaystyle\hspace{1pt} \frac{1}{2}(n-1)(n-2)\hspace{1pt}\)通りとなります。
【(3)の解答】
問題 :『 \(x + y + z \leqq n \) を満たす正の整数の組\(\hspace{1pt}(x,y,z)\hspace{1pt}\)は何通りあるか求めよ。ただし、\(n\hspace{1pt}\)は\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)以上の整数とする。』
問題(2)の結果から、\(k\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)以上の整数とすると、\(x + y + z = k \) を満たす正の整数の組\(\hspace{1pt}(x,y,z)\hspace{1pt}\)は\(\displaystyle\hspace{2pt} \frac{1}{2}(k-1)(k-2)\hspace{2pt}\)通りとなります。
この \(x + y + z = k \) を満たす正の整数の組の数を\(\hspace{1pt}k = 3\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}k = n\hspace{1pt}\)まで足し合わせると、問題の組の数が求められます。
\(\displaystyle \frac{1}{2}(k-1)(k-2)\hspace{2pt}\)を変形すると
となります。
(上式のように隣り合う整数の積が現れるように差分の式に変形すると、前後の項で打ち消し合い、和を簡単に計算することができます。)
\(\hspace{1pt}k = 3\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}k = n\hspace{1pt}\)まで足し合わせると
となります。
したがって 求める整数の組の数は\(\displaystyle\hspace{1pt} \frac{1}{6} n(n-1)(n-2)\hspace{1pt}\)通りとなります。
【(3)の別解】
上記の\(\hspace{1pt}k = 3\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}k = n\hspace{1pt}\)までを足し合わせる計算は、シグマ記号の計算から求めることもできます。
\(\displaystyle\hspace{1pt}\sum_{k=3}^n k^2 = \sum_{k=1}^n k^2 - \sum_{k=1}^2 k^2\hspace{1pt}\)のように計算することに注意すると、以下のように求められます。
したがって 求める整数の組の数は\(\displaystyle\hspace{1pt} \frac{1}{6} n(n-1)(n-2)\hspace{1pt}\)通りとなります。
【入試本番に向けたアドバイス】
\(\hspace{1pt}x +y + z = n\hspace{1pt}\)を満たす整数の組の数を求める問題は、場合の数の範囲では頻出のテーマの一つです。
整数の組を求める問題では『重複を許して取る組み合わせ』の考え方から解くことができます。
\(\hspace{1pt}x + y + z = 9\hspace{1pt}\)を満たす整数の組\(\hspace{1pt}(x,y,z)\hspace{1pt}\)の数は、\(9\hspace{1pt}\)個の『\(\hspace{1pt} \bigcirc\hspace{1pt}\)』と\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の仕切り『|』を並べ、仕切りの左側から\(\hspace{1pt}x,y,z\hspace{1pt}\)とすることで整数の組の数を求められます。
異なる\({\hspace{1pt}n\hspace{2pt}}\)個のものから\({\hspace{1pt}p\hspace{2pt}}\)個の同じもの、別の種類の\({\hspace{1pt}q\hspace{2pt}}\)個の同じもの、別の種類の\({\hspace{1pt}r\hspace{2pt}}\)個の同じもの\({\hspace{1pt}\cdots\hspace{2pt}}\)を取り出して並べる並べ方の総数は以下の式で計算されます。
$$ \displaystyle{\frac{n\hspace{1pt}!}{p\hspace{1pt}!\hspace{1pt}q\hspace{1pt}!\hspace{1pt}r\hspace{1pt}!\cdots}}$$ ただし、\({\hspace{1pt}p+q+r+\cdots = n\hspace{1pt}}\)
問題(2)で計算した\(\hspace{1pt}x +y + z = n\hspace{1pt}\)のように、ある整数\(\hspace{1pt}n\hspace{1pt}\)と表された式であっても、同様の方法で計算することできます。
もし問題文に\(\hspace{1pt}n\hspace{1pt}\)の条件が与えられていなければ、\(n \leqq 2\hspace{1pt}\)の場合は式を満たす正の整数の組\(\hspace{1pt}(x,y,z)\hspace{1pt}\)は存在しないため、解答に\(n \leqq 2\hspace{1pt}\)と\(\hspace{1pt}n \geqq 3\hspace{1pt}\)で場合分けが必要になります。
問題(3)では、\(\displaystyle \frac{1}{2}(k-1)(k-2)\hspace{2pt}\)を
と隣り合う整数の積が現れるように差分の式に変形しました。
このように変形すると、前後の項で打ち消し合い、和を簡単に計算することができます。
別解にあるシグマ記号を利用する計算よりも、この差分の式に変形する方が素早く計算できるため、覚えておくと他の問題でも役に立ちます。
【関連するページ】
・重複組み合わせ