6の倍数の数の個数を求める問題

【答え】
(1) \(\hspace{1pt}360\hspace{1pt}\)通り
(2) \(\hspace{1pt}240\hspace{1pt}\)通り
(3) \(\hspace{1pt}120\hspace{1pt}\)通り
　

【(1)の解答】
　問題 :『\(1,2,3,4,5,6\hspace{1pt}\)の\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)個の数字から異なる数字を\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)個選び並べるとき、\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)の倍数は何通りできるか求めよ』

数字を並べたときに\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)の倍数となるとき、一の位が偶数であればよいので、一の位は\(\hspace{1pt}2,4 ,6\hspace{1pt}\)の\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)通りとなります。

残りの\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)桁は、一の位で使われなかった\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)個の数字から\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)個を選ぶため、\(\hspace{1pt} {}_5 P_4\hspace{1pt}\)通りとなります。

したがって、\(2\hspace{1pt}\)桁の倍数となる並べ方の総数は $$ \begin{aligned} & 3 \times {}_5 P_4 \\[0.7em] & = 3 \times 120 \\[0.7em] & = 360 \\[0.7em] \end{aligned} $$

以上から、\(360\hspace{1pt}\)通りとなります。
　

【(2)の解答】
　問題 :『\(1,2,3,4,5,6\hspace{1pt}\)の\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)個の数字から異なる数字を\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)個選び並べるとき、\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数は何通りできるか求めよ』

数字を並べたときに\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数の数となるとき、各位の和が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数となります。

\(1,2,3,4,5,6\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)個を選んだときの和が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数となる組み合わせを書きならべると、
$$(1 , 2 , 3 ,4 , 5)\hspace{2pt},\hspace{2pt}(1 , 2 , 4 ,5 , 6)$$ の\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)通りとなります。

(上記の組み合わせの見つけ方として 全ての数字\(\hspace{1pt} 1,2,3,4,5,6\hspace{1pt}\)の和が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数であることから、『選ばれた数字の和』と『選ばれない数字』のどちらも\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数となるという条件を用いることができます。
選ばれた数字の和が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数となるとき、\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数である\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)もしくは\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)が選ばれないことから、上記の組み合わせを簡単に求めることができます。)

したがって、\(3\hspace{1pt}\)の倍数の数となるとき、上記の組み合わせの\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)つの数字から\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)個を選び並べることから $$ \begin{aligned} & 2 \times {}_5 P_5 \\[0.7em] & = 2 \times 120 \\[0.7em] & = 240 \\[0.7em] \end{aligned} $$

以上から、\(240\hspace{1pt}\)通りとなります。
　

【(3)の解答】
　問題 :『\(1,2,3,4,5,6\hspace{1pt}\)の\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)個の数字から異なる数字を\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)個選び並べるとき、\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)の倍数は何通りできるか求めよ』

数字を並べたときに\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)の倍数の数となるとき、その数は\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)の倍数かつ\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数となります。

そこで、(2)で求めた\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数となる数字の組み合わせの中から\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)の倍数となる並べ方が何通りあるかにより計算します。

・\((1 , 2 , 3 ,4 , 5)\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)個を選ぶとき
　\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)の倍数であるには、一の位は\(\hspace{1pt}2,4\hspace{1pt}\)の\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)通りとなります。
　残りの\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)桁は一の位で使われなかった\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)個から選ぶため、\({}_4 P_4\hspace{1pt}\)通りとなります。

・\((1 , 2 , 4 ,5 , 6)\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)個を選ぶとき
　\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)の倍数であるには、一の位は\(\hspace{1pt}2,4,6\hspace{1pt}\)の\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)通りとなります。
　残りの\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)桁は一の位で使われなかった\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)個から選ぶため、\({}_4 P_4\hspace{1pt}\)通りとなります。

したがって、\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)の倍数の並べ方は $$ \begin{aligned} & 2 \times {}_4 P_4 + 3 \times {}_4 P_4 \\[0.7em] & = 2 \times 24 + 3 \times 24 \\[0.7em] & = 48 + 72 \\[0.7em] & = 120 \\[0.7em] \end{aligned} $$

以上から、\(120\hspace{1pt}\)通りとなります。
　

【入試本番に向けたアドバイス】
数字を並べて整数を作る問題は、教科書の例題でもよく見る問題ですが、大学入試でも頻出のテーマとなっています。

以下にあげる倍数の判定法は、整数を作る問題で必須となるため、必ず覚えておきましょう。

　・\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)の倍数 : 下\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)桁が偶数
　・\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数 : 各桁の数の和が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数
　・\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)の倍数 : 下\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)桁が\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)の倍数
　・\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)の倍数 : 下\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)桁が\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)または\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)
　・\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)の倍数 : \(2\hspace{1pt}\)の倍数かつ\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数
　・\(\hspace{1pt}9\hspace{1pt}\)の倍数 : 各桁の数の和が\(\hspace{1pt}9\hspace{1pt}\)の倍数

\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)の倍数や\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)の倍数は下\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)桁の数が条件となるため、下\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)桁の数を先に並べ、残りの桁に下\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)桁で使われなかった数を並べると考えます。

\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数や\(\hspace{1pt}9\hspace{1pt}\)の倍数は各桁の和が条件となるため、先に条件を満たす数字の組み合わせを求め、その選ばれた数を並び替えると考えます。

\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)の倍数は『\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)の倍数かつ\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数』という条件であり、問題(3)のように先に\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数となる数の組み合わせを求め、その選ばれた数を下\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)桁が偶数になるように並べるという考え方ができます。

特に、\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)の倍数となる数を作る問題は、大学入試でよく問われる問題であるため慣れておきましょう。
　

【関連するページ】
・順列の公式