◆第問目！
異なる\({\hspace{1pt}n\hspace{2pt}}\)個のものから\({\hspace{1pt}p\hspace{2pt}}\)個の同じもの、別の種類の\({\hspace{1pt}q\hspace{2pt}}\)個の同じもの、別の種類の\({\hspace{1pt}r\hspace{2pt}}\)個の同じもの\({\hspace{1pt}\cdots\hspace{2pt}}\)を取り出して並べる並べ方の総数は以下の『同じものを含む順列の公式』で表されます。
$$ \displaystyle{\frac{n\hspace{1pt}!}{p\hspace{1pt}!\hspace{1pt}q\hspace{1pt}!\hspace{1pt}r\hspace{1pt}!\cdots}}$$ ただし、\({\hspace{1pt}p+q+r+\cdots = n\hspace{1pt}}\)
数字の中に\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)を含むため、最も大きい桁である百万の位は\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)か\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)となります。
百万の位が\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)か\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)かによって、残りの数字が変化するため場合分けが必要になります。
【答え】
\(\hspace{1pt}90\hspace{1pt}\)個
【解答】
問題 :『\(0,1,1,2,2,2,2\hspace{1pt}\)から全ての数字を使用して\(\hspace{1pt}7\hspace{1pt}\)桁の数を作るとき、整数は何通りできるか求めよ』
\(7\hspace{1pt}\)桁の整数を作るとき、最も大きい桁の百万の位には\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)を使用できないことから、百万の位は\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)か\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)のどちらかから選びます。
百万の位が\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)か\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)かによって、残りの桁に使われる数字が変化するため、場合分けが必要になります。
【百万の位が\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)のとき】
残りの桁に\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個、\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個、\(2\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)個並べればよいことから、同じものを含む順列の公式より
$${ \frac{6!}{1! 1! 4!} = 30}$$
したがって \(\hspace{1pt}30\hspace{1pt}\)個となります。
【百万の位が\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)のとき】
残りの桁に\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個、\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個、\(2\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個並べればよいことから、同じものを含む順列の公式より
$${ \frac{6!}{1! 2! 3!} = 60}$$
したがって \(\hspace{1pt}60\hspace{1pt}\)個となります。
求める整数の数は、百万の位が\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)の場合と\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)の場合の個数を足し合わせればよいので $${30 + 60 = 90}$$ となります。
以上から、求める整数は\(\hspace{1pt}90\hspace{1pt}\)個となります。
【関連するページ】
・同じものを含む順列