2300より大きい個数を求める問題

【答え】
\(\hspace{1pt}288\hspace{1pt}\)通り
　

【解答】
　問題 :『\(1,2,3,4,5,6\hspace{1pt}\)の\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)個の数字から異なる数字を選ぶとき、\(2300\hspace{1pt}\)より大きい\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)桁の数字は何通りできるか求めよ』

\(1,2,3,4,5,6\hspace{1pt}\)の数字を並べて\(\hspace{1pt}2300\hspace{1pt}\)より大きくなるとき
\(\hspace{1pt}3 \large \circ\circ\circ\hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}4 \large \circ\circ\circ\hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}5 \large \circ\circ\circ\hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}6 \large \circ\circ\circ\)
のように千の位が\(\hspace{1pt}3,4,5,6\hspace{1pt}\)のとき、\(\hspace{1pt}2300\hspace{1pt}\)より大きくなります。

このとき、千の位は\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)通りとなります。

また、残りの桁は千の位の数以外の\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)個の数字から\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個を選ぶため、\({}_5 P_3\hspace{1pt}\)通りとなります。

また、\(2 3 \large \circ\circ\hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}2 4 \large \circ\circ\hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}2 5 \large \circ\circ\hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}2 6 \large \circ\circ\)
のように千の位が\(\hspace{1pt}2 \hspace{1pt}\)、百の位が\(\hspace{1pt}3 ,4,5,6 \hspace{1pt}\)のときも\(\hspace{1pt}2300\hspace{1pt}\)より大きくなります。

この場合、百の位の数字が\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)通りとなります。
それ以外の桁は\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)個の数字から\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個を選ぶため、\({}_4 P_2\hspace{1pt}\)通りとなります。

したがって、\(2300\hspace{1pt}\)以上の数字となる並べ方は $$ \begin{aligned} & 4 \times {}_5 P_3 + 4 \times {}_4 P_2 \\[0.7em] & = 4 \times 60 + 4 \times 12 \\[0.7em] & = 240 + 48 \\[0.7em] & = 288 \\[0.7em] \end{aligned} $$

以上から、\(288\hspace{1pt}\)通りとなります。
　

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・順列の公式