0を含む6個の数字から偶数を作る問題

【答え】
\(\hspace{1pt}156\hspace{1pt}\)通り
　

【解答】
　問題 :『\(0,1,2,3,4,5\hspace{1pt}\)の\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)個の数字から異なる数字を選び並べるとき、\(4\hspace{1pt}\)桁の偶数は何通りできるか求めよ』

数字を並べたときに偶数となるとき、一の位が\(\hspace{1pt}0,2,4\hspace{1pt}\)の\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)パターンが存在します。

ここで、最上位の位は\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)にできないため
　・一の位が\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)となるとき
　・一の位が\(\hspace{1pt}2,4\hspace{1pt}\)となるとき
では残りの桁に使用できる数字が変化するため、場合分けをします。

【一の位が\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)のとき】
一の位が\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)となるとき、残りの\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)桁は一の位で使われなかった\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)個の数字から選ぶため、\(\hspace{1pt} {}_5 P_3\hspace{1pt}\)通りとなります。

【一の位が\(\hspace{1pt}2,4\hspace{1pt}\)のとき】
一の位が\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)もしくは\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)となるとき、一の位の選び方は\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)通りとなります。

また、千の位の数字は\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)と一の位で使われた数字以外の\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)個の数字から選ぶため、\(4\hspace{1pt}\)通りとなります。

さらに、残りの\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)桁は一の位、千の位で使われなかった\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)個の数字から選ぶため、\(\hspace{1pt} {}_4 P_2\hspace{1pt}\)通りとなります。

したがって、\(4\hspace{1pt}\)桁の偶数となる並べ方の総数は $$ \begin{aligned} & {}_5 P_3 + 2 \times 4 \times {}_4 P_2 \\[0.7em] & = 60 + 96 \\[0.7em] & = 156 \\[0.7em] \end{aligned} $$

以上から、\(156\hspace{1pt}\)通りとなります。
　

【別解】
並び替えた数字が偶数となる並べ方の総数は、『整数となる並べ方』から『奇数となる並べ方』を引くことでも求められます。

整数となる並べ方は、千の位が\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)以外の\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)通りとなります。
また、残りの桁は千の位で使われなかった\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)個から\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個を選ぶため、\({}_5 P_3\hspace{1pt}\)通りあります。

奇数となる並べ方は、一の位が\(\hspace{1pt}1,3,5\hspace{1pt}\)の\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)通りとなります。
また、千の位は\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)と一の位で使われなかった数から選ぶため、\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)通りとなります。
残りの桁は一の位、千の位で使われなかった\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)個から\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個を選ぶため、\({}_4 P_2\hspace{1pt}\)通りあります。

したがって、\(4\hspace{1pt}\)桁の偶数となる並べ方の総数は $$ \begin{aligned} & 5 \times {}_5 P_3 - 3 \times 4 \times {}_4 P_2 \\[0.7em] & = 300 - 144 \\[0.7em] & = 156 \\[0.7em] \end{aligned} $$

以上から、\(156\hspace{1pt}\)通りとなります。
　

【関連するページ】
・順列の公式