◆第問目！
異なる\(\hspace{1pt}n\hspace{1pt}\)個の中から\(\hspace{1pt}r\hspace{1pt}\)個を選び並べる順列の総数は
により求められます
交互に並ぶという条件では、まず『〇×〇×〇×』など、どのように並ぶ可能性があるかを書き出して条件を整理します。
【答え】
\(\hspace{1pt}72\hspace{1pt}\)通り
【解答】
問題 :『男子\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)人,女子\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)人が交互に並ぶときの並び方の総数を求めよ』
男子\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)人,女子\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)人が交互に並ぶとき『男女男女男女』と『女男女男女男』の二通りがある点に注意が必要です。
そこで (1)一番左側に男子がいる場合 と (2)一番左側に女子がいる場合 に分けてそれぞれについて並び方を計算します。
(1)一番左側に男子がいる場合
まず、男子\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)人を先に並べると その並び方は\(\hspace{1pt} {}_3 P_3\hspace{1pt}\)通りとなります。
次に、男子の右隣に女子\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)人が並ぶと考えると、その並び方は\(\hspace{1pt} {}_3 P_3\hspace{1pt}\)通りとなります。
つまり、一番左側に男子がいる場合の並び方は \({}_3 P_3 \times {}_3 P_3\) 通りとなります。
(2)一番左側に女子がいる場合
まず、女子\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)人を先に並べると その並び方は\(\hspace{1pt} {}_3 P_3\hspace{1pt}\)通りとなります。
次に、女子の右隣に男子\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)人が並ぶと考えると、その並び方は\(\hspace{1pt} {}_3 P_3\hspace{1pt}\)通りとなります。
つまり、一番左側に女子がいる場合の並び方は \({}_3 P_3 \times {}_3 P_3\) 通りとなります。
以上から、男子\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)人,女子\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)人が交互に並ぶときの並び方は
$$ \begin{aligned} & 2 \times {}_3 P_3 \times {}_3 P_3 \\[0.7em] & = 2 \times 6 \times 6\\[0.7em] & = 72\\[0.7em] \end{aligned} $$したがって、\(72\hspace{1pt}\)通りとなります。
【関連するページ】
・順列の公式