少なくとも一端に女子がいる並び方

【答え】
(1) \(\hspace{1pt}5040\hspace{1pt}\)通り
(2) \(\hspace{1pt}1440\hspace{1pt}\)通り
(3) \(\hspace{1pt}3600\hspace{1pt}\)通り
　

【(1)の解答】
　問題 :『男子\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人,女子\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)人が並ぶとき、\(7\hspace{1pt}\)人全員の並び方の総数を求めよ』

\(7\hspace{1pt}\)人全員の並び方の総数は\(\hspace{1pt} {}_7 P_7\hspace{1pt}\)通りとなります。

したがって $$ \begin{aligned} & {}_7 P_7 \\[0.7em] & = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\\[0.7em] & = 5040\\[0.7em] \end{aligned} $$

から、\(7\hspace{1pt}\)人全員の並び方は\(5040\hspace{1pt}\)通りとなります。
　

【(2)の解答】
　問題 :『男子\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人,女子\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)人が並ぶとき、両端が男子となる並び方の総数を求めよ』

男子\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人から\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)人を選び、両端に並べる並び方は\(\hspace{1pt} {}_4 P_2\hspace{1pt}\)通りとなります。
そのおのおのに対して、残りの\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)人の並び方が\(\hspace{1pt} {}_5 P_5\hspace{1pt}\)通りとなります。

したがって $$ \begin{aligned} & {}_4 P_2 \times {}_5 P_5 \\[0.7em] & = 12 \times 120\\[0.7em] & = 1440\\[0.7em] \end{aligned} $$

から、両端が男子となる並び方は\(1440\hspace{1pt}\)通りとなります。
　

【(3)の解答】
　問題 :『男子\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人,女子\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)人が並ぶとき、少なくとも一端が女子となる並び方の総数を求めよ』

『少なくとも一端に〇〇』という条件がある場合、余事象を考えると計算が簡単になります。

『少なくとも一端に女子がいる』という並び方の余事象は両端に男子がいるとなります。

そこで、『\(\hspace{1pt}7\hspace{1pt}\)人全員の並び方の総数』から『両端に男子がいる並び方の総数』を引くことで問題の順列の数を求めます。

問題(1)から、\(7\hspace{1pt}\)人全員の並び方は\(\hspace{1pt} 5040\hspace{1pt}\)通りとなります。

また、両端に男子がいる並び方は問題(2)から\(\hspace{1pt}1440\hspace{1pt}\)通りとなります。

したがって $$ \begin{aligned} & 5040 - 1440\\[0.7em] & = 3600\\[0.7em] \end{aligned} $$

から、少なくとも一端に女子がいる並び方は\(3600\hspace{1pt}\)通りとなります。
　

【関連するページ】
・順列の公式