◆第問目！
異なる\({\hspace{1pt}n\hspace{2pt}}\)個のものから\({\hspace{1pt}p\hspace{2pt}}\)個の同じもの、別の種類の\({\hspace{1pt}q\hspace{2pt}}\)個の同じもの、別の種類の\({\hspace{1pt}r\hspace{2pt}}\)個の同じもの\({\hspace{1pt}\cdots\hspace{2pt}}\)を取り出して並べる並べ方の総数は以下の『同じものを含む順列の公式』で表されます。
$$ \displaystyle{\frac{n\hspace{1pt}!}{p\hspace{1pt}!\hspace{1pt}q\hspace{1pt}!\hspace{1pt}r\hspace{1pt}!\cdots}}$$ ただし、\({\hspace{1pt}p+q+r+\cdots = n\hspace{1pt}}\)
数を並び替える問題では、条件の厳しい桁から先に並べると考えます。
問題(2)では、作られた数が偶数であるために、一の位が\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)である必要があります。
そこで、まず 一の位に\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)を配置してから、残りの桁に数字を並べると考えます。
【答え】
(1) \(\hspace{1pt}560\hspace{1pt}\)個
(2) \(\hspace{1pt}210\hspace{1pt}\)個
【(1)の解答】
問題 :『\(1,1,2,2,2,3,3,3\hspace{1pt}\)から全ての数字を使用して\(\hspace{1pt}8\hspace{1pt}\)桁の数を作るとき、整数の数を求めよ』
同じものを含む順列の公式から計算できます。
\(1\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個、\(2\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個、\(3\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個あることから $${\frac{8!}{2! 3! 3!} = 560}$$ となります。
したがって 求める整数の数は\(\hspace{1pt}560\hspace{1pt}\)個となります。
【(2)の解答】
問題 :『\(1,1,2,2,2,3,3,3\hspace{1pt}\)から全ての数字を使用して\(\hspace{1pt}8\hspace{1pt}\)桁の数を作るとき、偶数の数を求めよ』
作られた数が偶数であるためには、一の位が\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)である必要があります。
そこで、先に一の位に\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)を配置すると考えます。
残りの桁に\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個、\(2\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個、\(3\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個並べればよいことから、同じものを含む順列より
$${1 \times \frac{7!}{2! 2! 3!} = 210}$$
したがって 求める偶数の数は\(\hspace{1pt}210\hspace{1pt}\)個となります。
【関連するページ】
・同じものを含む順列