◆第問目！
異なる\({\hspace{1pt}n\hspace{2pt}}\)個のものから\({\hspace{1pt}p\hspace{2pt}}\)個の同じもの、別の種類の\({\hspace{1pt}q\hspace{2pt}}\)個の同じもの、別の種類の\({\hspace{1pt}r\hspace{2pt}}\)個の同じもの\({\hspace{1pt}\cdots\hspace{2pt}}\)を取り出して並べる並べ方の総数は以下の『同じものを含む順列の公式』で表されます。
$$ \displaystyle{\frac{n\hspace{1pt}!}{p\hspace{1pt}!\hspace{1pt}q\hspace{1pt}!\hspace{1pt}r\hspace{1pt}!\cdots}}$$ ただし、\({\hspace{1pt}p+q+r+\cdots = n\hspace{1pt}}\)
『両端に〇〇』と指定がある場合は、先に両端に文字を配置し、次に残りの文字を配置すると考えます。
『〇〇が隣り合う』という条件では、隣り合うものを一組と考えます。
【答え】
(1) \(\hspace{1pt}560\hspace{1pt}\)個
(2) \(\hspace{1pt}20\hspace{1pt}\)個
(3) \(\hspace{1pt}140\hspace{1pt}\)個
【(1)の解答】
問題 :『\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個、\(B\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個、\(C\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個の\(\hspace{1pt}8\hspace{1pt}\)文字全てを使った文字列の数を求めよ』
同じものを含む順列の公式をそのまま用いて計算できます。
すなわち $${\frac{8!}{2! 3! 3!} = 560}$$ となります。
したがって \(8\hspace{1pt}\)文字全てを使った文字列の数は\(\hspace{1pt}560\hspace{1pt}\)個となります。
【(2)の解答】
問題 :『\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個、\(B\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個、\(C\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個の\(\hspace{1pt}8\hspace{1pt}\)文字全てを使った文字列のうち、両端が\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)の文字列の数を求めよ』
まず両端に\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)を並べると考えます。両端の\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)は同じもので区別がないため、並べ方は\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)通りとなります。
また、その間に残りの\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個、\(C\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個を並べればよいことから、同じものを含む順列より $$\begin{aligned} & 1 \times \frac{6!}{ 3! 3!}\\[0.5em] & = 20\\[0.5em] \end{aligned}$$
したがって 両端が\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)の文字列の数は\(\hspace{1pt}20\hspace{1pt}\)個となります。
【(3)の解答】
問題 :『\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個、\(B\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個、\(C\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個の\(\hspace{1pt}8\hspace{1pt}\)文字全てを使った文字列のうち、\(A\hspace{1pt}\)が隣り合う文字列の数を求めよ』
文字\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)が隣り合うという条件から、隣り合った\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)をまとめて\(\hspace{1pt}A'\hspace{1pt}\)と考えて
『\(\hspace{1pt}A'\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個、\(B\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個、\(C\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個の文字列の数』を考えます。
すなわち $${\frac{7!}{1! 3! 3!} = 140}$$ となります。
したがって \(A\hspace{1pt}\)が隣り合う文字列の数は\(\hspace{1pt}140\hspace{1pt}\)個となります。
【関連するページ】
・同じものを含む順列