女子4人と男子2人が円形に並ぶ問題

【答え】
(1) \(\hspace{1pt}24\hspace{1pt}\)通り
(2) \(\hspace{1pt}48\hspace{1pt}\)通り
(3) \(\hspace{1pt}72\hspace{1pt}\)通り
　

【(1)の解答】
　問題 :『女子4人と男子2人が円形に並ぶとき、男子\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)人が向かい合う方法の総数を求めよ』

まず、男子\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)人を固定すると、もう\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)人の男子は向かい合う場所に決まります。

また、女子\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人の位置は、残りの\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)つの位置に並ぶ順列を考えればよいので $$ \begin{aligned} {}_4 P_4 & =4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \\[0.7em] & = 24 \\[0.7em] \end{aligned} $$

したがって、男子が向かい合う並び方は\(\hspace{1pt}24\hspace{1pt}\)通りとなります。
　

【(2)の解答】
　問題 :『女子4人と男子2人が円形に並ぶとき、男子\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)人が隣り合う方法の総数を求めよ』

男子\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)人を\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)組と考え、女子\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人と男子\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)組の円順列として計算します。

女子\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人と男子\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)組が円形に並ぶ並び方は\(\hspace{1pt}(5-1)! = 4!\hspace{1pt}\)通りとなります。
また、そのおのおのに対して男子\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)人の並び方が\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)通りとなります。

すなわち $$ \begin{aligned} 4! \times 2 & =4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \times 2\\[0.7em] & = 48 \\[0.7em] \end{aligned} $$

したがって、男子が隣り合う並び方は\(\hspace{1pt}48\hspace{1pt}\)通りとなります。
　

【(3)の解答】
　問題 :『女子4人と男子2人が円形に並ぶとき、男子\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)人が隣り合わない方法の総数を求めよ』

男子\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)人が隣り合わない並び方は『\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)人全員の並び方の総数』から『男子\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)人が隣り合う並び方の総数』を引くことで求められます。

\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)人全員の並び方の総数は円順列の公式から $$ \begin{aligned} (6-1)! & = 5! \\[0.7em] & = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \\[0.7em] & = 120\\[0.7em] \end{aligned} $$ すなわち、\(120\hspace{1pt}\)通りとなります。

また、男子\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)人が隣り合う並び方は(2)から\(\hspace{1pt}48\hspace{1pt}\)通りとなります。

すなわち $${120 - 48 = 72}$$

から、男子が隣り合わない並び方は\(\hspace{1pt}72\hspace{1pt}\)通りとなります。
　

【関連するページ】
・順列の公式