◆第問目！
異なる\(\hspace{1pt}n\hspace{1pt}\)個の中から\(\hspace{1pt}r\hspace{1pt}\)個を選び並べる順列の総数は
により求められます
数字を並べる問題では、条件の厳しい桁から数字の並び方を考えます。
\(0\hspace{1pt}\)を含む数字を並べる問題は、最上位の位の数字が\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)にならないという条件があります。
数字を並べる問題では、条件の厳しい桁から数字の並び方を考えます。
まず、数字が奇数となるためには、一の位の数字が奇数である必要があります。
また、数字に\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)が含まれているため、最上位の位の数字が\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)にならないという条件も満たすようにします。
【答え】
(1) \(\hspace{1pt}300\hspace{1pt}\)通り
(2) \(\hspace{1pt}144\hspace{1pt}\)通り
【(1)の解答】
問題 :『\(0,1,2,3,4,5\hspace{1pt}\)の\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)個の数字から異なる数字を選び並べるとき、\(4\hspace{1pt}\)桁の整数は何通りできるか求めよ』
千の位の数字は\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)以外の\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)個の数字から選ぶため、\(5\hspace{1pt}\)通りとなります。
また、残りの\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)桁は千の位で使われなかった\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)個の数字から選ぶため、\(\hspace{1pt} {}_5 P_3\hspace{1pt}\)通りとなります。
したがって、\(4\hspace{1pt}\)桁の整数は $$ \begin{aligned} & 5 \times {}_5 P_3 \\[0.7em] & = 5 \times 5 \cdot 4 \cdot 3 \\[0.7em] & = 5 \times 60 \\[0.7em] & = 300\\[0.7em] \end{aligned} $$
したがって、\(300\hspace{1pt}\)通りとなります。
【(2)の解答】
問題 :『\(0,1,2,3,4,5\hspace{1pt}\)の\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)個の数字から異なる数字を選び並べるとき、\(4\hspace{1pt}\)桁の奇数は何通りできるか求めよ』
数字を並べた数が奇数であるためには、一の位の数が\(\hspace{1pt}1 , 3, 5\hspace{1pt}\)のどれかになります。
すなわち、一の位の数字は\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)通りとなります。
また、千の位の数字は『一の位で使われた数字と\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)以外の\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)個の数字』から選ぶため、\(4\hspace{1pt}\)通りとなります。
残りの\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)桁は一の位,千の位で使われなかった\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)個の数字から選ぶため、\(\hspace{1pt} {}_4 P_2\hspace{1pt}\)通りとなります。
したがって、\(4\hspace{1pt}\)桁の整数は $$ \begin{aligned} & 3 \times 4 \times {}_4 P_2 \\[0.7em] & = 3 \times 4 \times 4 \cdot 3 \\[0.7em] & = 144\\[0.7em] \end{aligned} $$
したがって、\(144\hspace{1pt}\)通りとなります。
【関連するページ】
・順列の公式