◆第問目！
異なる\(\hspace{1pt}n\hspace{1pt}\)個の中から\(\hspace{1pt}r\hspace{1pt}\)個を選び並べる順列の総数は
により求められます
数字を並べる問題では、条件の厳しい桁から数字の並び方を考えます。
偶数を作る場合は、一の位の数字が偶数である必要があります。
数字を並べて奇数を作る問題は、一の位の数が奇数となる整数が何通りできるかを考えます。
【答え】
(1) \(\hspace{1pt}48\hspace{1pt}\)通り
(2) \(\hspace{1pt}36\hspace{1pt}\)通り
【(1)の解答】
問題 :『\(1,2,3,4,5\hspace{1pt}\)の\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)個の数字から異なる数字を選び並べるとき、\(4\hspace{1pt}\)桁の偶数は何通りできるか』
数字を並べた数が偶数であるためには、一の位の数が\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)か\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)のどちらかになります。
すなわち、一の位の数字は\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)通りとなります。
また、残りの\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)桁は一の位で使われなかった\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)つの数字から選ぶため、\(\hspace{1pt} {}_4 P_3\hspace{1pt}\)通りとなります。
したがって、\(4\hspace{1pt}\)桁の偶数は $$ \begin{aligned} & 2 \times {}_4 P_3 \\[0.7em] & = 2 \times 4 \cdot 3 \cdot 2 \\[0.7em] & = 2 \times 24 \\[0.7em] & = 48\\[0.7em] \end{aligned} $$
したがって、\(48\hspace{1pt}\)通りとなります。
【(2)の解答】
問題 :『\(1,2,3,4,5\hspace{1pt}\)の\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)個の数字から異なる数字を選び並べるとき、\(3\hspace{1pt}\)桁の奇数は何通りできるか』
数字を並べた数が奇数であるためには、一の位の数が\(\hspace{1pt}1 , 3, 5\hspace{1pt}\)のどれかになります。
すなわち、一の位の数字は\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)通りとなります。
また、残りの\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)桁は一の位で使われなかった\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)つの数字から選ぶため、\(\hspace{1pt} {}_4 P_2\hspace{1pt}\)通りとなります。
したがって、\(4\hspace{1pt}\)桁の奇数は $$ \begin{aligned} & 3 \times {}_4 P_2 \\[0.7em] & = 3 \times 4 \cdot 3 \\[0.7em] & = 3 \times 12 \\[0.7em] & = 36\\[0.7em] \end{aligned} $$
したがって、\(36\hspace{1pt}\)通りとなります。
【関連するページ】
・順列の公式