◆第問目！
異なる\(\hspace{1pt}n\hspace{1pt}\)個の中から\(\hspace{1pt}r\hspace{1pt}\)個を選び並べる順列の総数は
により求められます
両端に並ぶと位置が指定された順列の総数を求める場合は、『先に両端に並べ、後から残りのものを並べる』と考えて順列の総数を求めます。
隣り合う条件の順列では、隣り合うものを一組とみなして順列の総数を求めます。
交互に並ぶという条件では、まず『〇×〇×〇×〇』などと、どのように並ぶ可能性があるかを書き出して条件を整理します。
【答え】
(1) \(\hspace{1pt}1440\hspace{1pt}\)通り
(2) \(\hspace{1pt}720\hspace{1pt}\)通り
(3) \(\hspace{1pt}144\hspace{1pt}\)通り
【(1)の解答】
問題 :『男子\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人,女子\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)人が一列に並ぶとき、男子が両端となる並び方の総数を求めよ』
男子\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人のうち\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)人が両端となる選び方は\(\hspace{1pt}{}_4 P_2\hspace{1pt}\)通りとなります。
また、残りの\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)人がその間に並ぶと考えると、\( {}_5 P_5\hspace{1pt}\)通りとなります。
したがって $$ \begin{aligned} & {}_4 P_2 \times {}_5 P_5 \\[0.7em] & = 4 \cdot 3 \times 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2\cdot 1\\[0.7em] & = 12 \times 120\\[0.7em] & =1440\\[0.7em] \end{aligned} $$
したがって、\(1440\hspace{1pt}\)通りとなります。
【(2)の解答】
問題 :『男子\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人,女子\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)人が一列に並ぶとき、女子\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)人が隣り合う並び方の総数を求めよ』
隣り合う\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)人の女子を\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)組とみなして順列の総数を求めます。
男子\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人と女子\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)組の並び方は\(\hspace{1pt} {}_5 P_5\hspace{1pt}\)通りとなります。
また、そのおのおのに対して隣り合う女子\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)人の並び方は\(\hspace{1pt} {}_3 P_3\hspace{1pt}\)通りとなります。
したがって $$ \begin{aligned} & {}_5 P_5 \times {}_3 P_3 \\[0.7em] & = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2\cdot 1 \times 3 \cdot 2\cdot 1\\[0.7em] & = 120 \times 6\\[0.7em] & =720\\[0.7em] \end{aligned} $$
したがって、\(720\hspace{1pt}\)通りとなります。
【(3)の解答】
問題 :『男子\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人,女子\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)人が一列に並ぶとき、男子と女子が交互に並ぶ並び方の総数を求めよ』
男子\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人,女子\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)人が交互に並ぶとき『男女男女男女男』に限られます。
そこで 先に男子\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人を並べ、その間に女子\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)人を並べる と考えます。
男子\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人を先に並べると その並び方は\(\hspace{1pt} {}_4 P_4\hspace{1pt}\)通りとなります。
次に、その間に女子\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)人を配置すると考えると その並び方は\(\hspace{1pt} {}_3 P_3\hspace{1pt}\)通りとなります。
したがって $$ \begin{aligned} & {}_4 P_4 \times {}_3 P_3 \\[0.7em] & = 4 \cdot 3 \cdot 2\cdot 1 \times 3 \cdot 2\cdot 1\\[0.7em] & = 24 \times 6\\[0.7em] & = 144\\[0.7em] \end{aligned} $$
したがって、\(144\hspace{1pt}\)通りとなります。
【関連するページ】
・順列の公式