不等式で表された部分の体積の問題と解き方

【問題の答え】
　$\displaystyle \frac{9}{4} $
　

【解答のポイント】
問題の不等式を作図により描こうとしても非常に難しくなります。

そこで、問題の不等式 $$ \begin{dcases} & 0 \leqq x \leqq 1 \\[0.5em] & x \leqq y \leqq x+1 \\[0.5em] & 0 \leqq z \leqq 1+ xy + \sqrt{x} \\[0.5em] \end{dcases} $$ で表される部分を平面で切った断面積を求めてから、積分して体積を求めます。

本問では$\hspace{2pt}x\hspace{2pt}$が無理関数の形で含まれており、登場する回数も多いことから平面$\hspace{2pt}x=t\hspace{2pt}$で切った断面積$\hspace{2pt}S(t)\hspace{2pt}$を求めます。

この断面積を$\hspace{2pt}S(t)\hspace{2pt}$とし、$t\hspace{2pt}$で積分することで体積を求めます。
　

【問題の解答】
　問題 : 次の連立不等式の満たす部分の体積を求めよ. $$ \begin{dcases} & 0 \leqq x \leqq 1 \\[0.5em] & x \leqq y \leqq x+1 \\[0.5em] & 0 \leqq z \leqq 1+ xy + \sqrt{x} \\[0.5em] \end{dcases} $$
　

平面$\hspace{2pt}x = t\hspace{2pt}$の断面を考えます。問題の不等式は $$ \begin{dcases} & 0 \leqq t \leqq 1 \\[0.5em] & t \leqq y \leqq t+1 \\[0.5em] & 0 \leqq z \leqq 1+ ty + \sqrt{t} \\[0.5em] \end{dcases} $$ となります。

ここで、平面$\hspace{2pt}x=t\hspace{2pt}$における$\hspace{2pt}(y,z)\hspace{2pt}$の存在する範囲を図示すると、以下のようになります。連立不等式を満たす部分の体積の問題

つまり、$x = t\hspace{2pt}$の断面は上図のような台形となることが分かります。

したがって、断面積$\hspace{1pt}S(t)\hspace{2pt}$は

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}S(t) & = \{(1+t^2+\sqrt{t} )+( 1+t+t^2+\sqrt{t})\}\cdot 1 \cdot \frac{1}{2} \hspace{10pt}\\[1em] & = \frac{1}{2}(2 + t + 2t^2 + 2 \sqrt{t} ) \\ \end{aligned} $$

となります。

求める体積は、$S(t)\hspace{2pt}$を$\hspace{2pt}t\hspace{1pt}$の範囲である$\hspace{2pt}[0 , 1]\hspace{2pt}$の区間で積分すればよいので $$ \begin{aligned} &\int_{0}^1 S(t) \hspace{1pt} dt \\[1em] & = \frac{1}{2} \int_{0}^1 (2 + t + 2t^2 + 2 \sqrt{t} ) \hspace{1pt} dt\\[1em] & =\frac{1}{2}\left[2t + \frac{1}{2}t^2 + \frac{2}{3}t^3 + \frac{4}{3}t^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^1\\[1em] & =\frac{1}{2} (2 + \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{4}{3})\\[1em] & = \frac{9}{4} \\ \end{aligned} $$ と求められます。
　

【入試本番に向けたアドバイス】
本問は、不等式で表された部分の体積を求める問題です。

断面積から体積を求める問題では

　① 作図をする
　② 断面積を表す関数を作る
　③ 断面積を積分する

という過程で体積を求めます。
　

しかし、本問は立体を作図することが難しいため、連立不等式をそのまま利用して体積を求める方法をとります。この場合は

　① $x = t \hspace{1pt},\hspace{1pt} y = t \hspace{1pt},\hspace{1pt} z = t\hspace{2pt}$のいずれかを選び、$t\hspace{2pt}$を定数とした連立不等式を作る
　② ①の連立不等式から断面積$\hspace{1pt}S(t)\hspace{2pt}$を求める
　② 断面積を$\hspace{2pt}t\hspace{2pt}$の範囲で積分する

という過程で体積を求めます。

連立不等式から断面積を考えるときに、立体の切り方として $${x = t \hspace{1pt},\hspace{1pt} y = t \hspace{1pt},\hspace{1pt} z = t}$$ の3つの選択肢があります。

断面を切る文字の選び方としては、『その断面で切ると残りの文字の対称性が良くなる』や『その断面で切ると残りの文字の次数が小さくなる』ような文字を優先して$\hspace{2pt}t\hspace{2pt}$とおきます。

本問は以下のような不等式 $$ \begin{dcases} & 0 \leqq x \leqq 1 \\[0.5em] & x \leqq y \leqq x+1 \\[0.5em] & 0 \leqq z \leqq 1+ xy + \sqrt{x} \\[0.5em] \end{dcases} $$ であり、$x\hspace{2pt}$が無理関数の形で含まれており、登場する回数も多いことから$\hspace{2pt}x=t\hspace{2pt}$とおいて断面積$\hspace{2pt}S(t)\hspace{2pt}$を求めています。

断面を切る文字の選ぶときは『その後の計算がより簡単になる文字』を意識して選ぶようにしましょう。
　

【関連するページ】
・定積分
　