sin,cosを含む曲線の長さの問題 | 積分ランダム問題集

【問題の答え】
　$\displaystyle L = \log 6 $
　

【解答のポイント】
本問は曲線の長さ$\hspace{1pt}L\hspace{1pt}$を求める問題です。

曲線$\hspace{2pt}y=f(x)\hspace{1pt}$の$\hspace{2pt}a \leqq x \leqq b\hspace{2pt}$における曲線の長さ$\hspace{1pt}L\hspace{1pt}$は $$ L =\int_a^b \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx}\right)^2} \hspace{1pt}dx$$ によって求められます。

上式から計算すると曲線の長さ$\hspace{1pt}L\hspace{1pt}$は $$ L = \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{5}{| 3\cos x + 4 \sin x |} \hspace{1pt}dx$$ から求められます。

被積分関数に$\hspace{2pt}a\sin x + b \cos x\hspace{2pt}$が含まれるときは、三角関数の合成が有効です。

三角関数の合成から式を変形すると

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt} & = \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{1}{| \sin(x + \alpha) |} \hspace{1pt}dx\hspace{10pt}\\[1em] \hspace{10pt} & = \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{1}{\sin(x + \alpha) } \hspace{1pt}dx\hspace{10pt}\\[1em] &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{ \sin(x + \alpha)}{\sin^2(x + \alpha)}\hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{ \sin(x + \alpha)}{1-\cos^2(x + \alpha)}\hspace{1pt}dx \\[1em] \end{aligned} $$

となり、置換積分法から$\hspace{2pt}\cos(x + \alpha) = t\hspace{1pt}$と置き換えることで積分することができます。
　

【問題の解答】
　問題 : 『曲線$\displaystyle \hspace{2pt}y = \log (3\cos x + 4 \sin x)\hspace{3pt}$の$\displaystyle\hspace{3pt}0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}\hspace{3pt}$における長さ$\hspace{1pt}L\hspace{1pt}$を求めよ.』
　

まず、$\displaystyle \frac{dy}{dx}\hspace{1pt}$を求めると

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt} \frac{dy}{dx} & = \frac{(3\cos x + 4 \sin x)'}{3\cos x + 4 \sin x} \hspace{10pt}\\[1em] \hspace{10pt} & = \frac{-3\sin x + 4 \cos x}{3\cos x + 4 \sin x} \hspace{10pt}\\[1em] \end{aligned} $$

となります。

よって、求める曲線の長さ$\hspace{1pt}L\hspace{1pt}$は

$$ \begin{aligned} \hspace{15pt} L & =\int_0^\frac{\pi}{2} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx}\right)^2} \hspace{1pt}dx\hspace{10pt}\\[1em] \hspace{10pt} & = \int_0^\frac{\pi}{2} \sqrt{1 + \left( \frac{-3\sin x + 4 \cos x}{3\cos x + 4 \sin x}\right)^2}\hspace{1pt}dx\hspace{10pt}\\[1em] \hspace{10pt} & = \int_0^\frac{\pi}{2} \sqrt{ \frac{(3\cos x + 4 \sin x)^2 +(-3\sin x + 4 \cos x)^2}{(3\cos x + 4 \sin x)^2}}\hspace{1pt}dx\hspace{15pt}\\[1em] \hspace{10pt} & = \int_0^\frac{\pi}{2} \sqrt{ \frac{25}{(3\cos x + 4 \sin x)^2}}\hspace{1pt}dx\hspace{10pt}\\[1em] \hspace{10pt} & = \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{5}{|3\cos x + 4 \sin x |} \hspace{1pt}dx\hspace{10pt}\\[1em] \end{aligned} $$

となります。

ここで、被積分関数の分母は三角関数の合成から $$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& 3\cos x + 4 \sin x \\[0.7em] & = \sqrt{3^2+4^2}\sin(x + \alpha) \\[0.7em] &= 5\sin(x + \alpha) \\[1em] \end{aligned} $$ と変形することができます。

ここで、$\alpha\hspace{2pt}$は$\displaystyle\hspace{2pt}\sin \alpha = \frac{3}{5}\hspace{2pt}$と$\displaystyle\hspace{2pt}\cos \alpha = \frac{4}{5}\hspace{2pt}$を満たす$\displaystyle \hspace{2pt} 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\hspace{2pt}$の範囲の角度となります。

$\displaystyle 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\hspace{1pt}$より、$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}\hspace{1pt}$において $${0 < x + \alpha < \pi}$$ であることから、積分区間$\displaystyle\hspace{1pt}\left[0,\frac{\pi}{2} \right]\hspace{1pt}$において$\hspace{1pt} 5\sin(x + \alpha) > 0\hspace{1pt}$となります。

したがって、求める曲線の長さ$\hspace{1pt}L\hspace{1pt}$は

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt} L & =\int_0^\frac{\pi}{2} \frac{5}{| 3\cos x + 4 \sin x |} \hspace{1pt}dx\hspace{10pt}\\[1em] \hspace{10pt} & = \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{1}{| \sin(x + \alpha) |} \hspace{1pt}dx\hspace{10pt}\\[1em] \hspace{10pt} & = \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{1}{\sin(x + \alpha) } \hspace{1pt}dx\hspace{10pt}\\[1em] &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{ \sin(x + \alpha)}{\sin^2(x + \alpha)}\hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{ \sin(x + \alpha)}{1-\cos^2(x + \alpha)}\hspace{1pt}dx \\[1em] \end{aligned} $$

ここで、置換積分法から$\hspace{2pt}\cos(x + \alpha) = t\hspace{1pt}$と置き換えて積分します。

$\cos(x + \alpha) = t\hspace{1pt}$の両辺を$\hspace{1pt}x\hspace{1pt}$について微分すると$\displaystyle\hspace{1pt} \frac{dt}{dx} = -\sin(x + \alpha)\hspace{2pt}$となることから$\hspace{2pt}dt = -\sin(x + \alpha) dx\hspace{2pt}$と表されます。

また、変数${\hspace{1pt}x\hspace{2pt}}$の範囲に対応する変数${\hspace{1pt}t\hspace{2pt}}$の範囲を求めると、以下のようになります。

${x}$	${\displaystyle 0 \to \frac{\pi}{2}}$
${t}$	$\displaystyle{\frac{4}{5} \to -\frac{3}{5}}$

($\hspace{2pt}x=0\hspace{2pt}$のとき、$\displaystyle t = \cos \alpha = \frac{4}{5}\hspace{1pt}$となります。また$\displaystyle \hspace{2pt}x=\frac{\pi}{2}\hspace{2pt}$のとき、$\displaystyle t = \cos( \alpha + \frac{\pi}{2}) =- \sin \alpha = -\frac{3}{5}\hspace{1pt}$となります。)

すなわち

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{ \sin(x + \alpha)}{1-\cos^2(x + \alpha)}\hspace{1pt}dx \\[1em] &= -\int_{\frac{4}{5}}^{-\frac{3}{5}} \frac{ 1}{1-t^2}\hspace{1pt}dt\\[1em] &= \int_{-\frac{3}{5}}^{\frac{4}{5}} \frac{ 1}{(1+t)(1-t)}\hspace{1pt}dt\\[1em] \end{aligned} $$

ここで、$\displaystyle{\frac{ 1}{(1+t)(1-t)} \hspace{2pt}}$を部分分数分解します。

以下のように分解されるとして、定数${\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}$と${\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}$を求めます。 $${\frac{ 1}{(1+t)(1-t)} = \frac{A}{1+t} + \frac{B}{1-t}}$$ 両辺に${\hspace{1pt}(1+t)(1-t)\hspace{2pt}}$をかけると $${1 = (1-t)A+ (1+t)B}$$ すなわち $${1 = (-A+B)t +A+B}$$ 上式が恒等式となるように左右の係数を比較すると $${-A+B = 0}$$ $${A+B = 1}$$ となることから $${A=\frac{1}{2}\hspace{1pt},\hspace{1pt}B=\frac{1}{2}}$$ となります。したがって

$${\hspace{10pt}\frac{ 1}{(1+t)(1-t)} = \frac{1}{2}\left \{\frac{1}{1+t} +\frac{1}{1-t}\right \}\hspace{10pt}}$$

となります。

問題の積分を求めると、以下のようになります。

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int_{-\frac{3}{5}}^{\frac{4}{5}} \frac{ 1}{(1+t)(1-t)}\hspace{1pt}dt\\[1em] &= \frac{1}{2}\int_{-\frac{3}{5}}^{\frac{4}{5}} \left(\frac{1}{1+t} +\frac{1}{1-t}\right )\hspace{1pt}dt\\[1em] &= \frac{1}{2} \left [\log|1+t| - \log|1-t|\right ]_{-\frac{3}{5}}^{\frac{4}{5}}\hspace{10pt}\\[1em] &= \log 6\\[1em] \end{aligned} $$

\({x}\)	\({\displaystyle 0 \to \frac{\pi}{2}}\)
\({t}\)	\(\displaystyle{\frac{4}{5} \to -\frac{3}{5}}\)