tan^xの10乗の定積分の問題と解き方

【答え】
　$\displaystyle \frac{263}{315} -\frac{\pi}{4} $
　

【解答のポイント】
置換積分法から$\hspace{2pt}t = \tan x\hspace{2pt}$とおくことで定積分を求めることができます。

$\displaystyle{t = \tan x }$ の両辺を$\hspace{2pt}x\hspace{2pt}$で微分すると $$ \begin{aligned} \hspace{10pt}\frac{dt}{dx} &= \frac{1}{\cos^2 x} \\[1em] \hspace{10pt}&= 1+\tan^2 x\\[1em] \hspace{10pt}&= 1 + t^2\\[1em] \end{aligned} $$ となることから、変数を置き換えると $${\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^{10} x \hspace{1pt}dx = \int_0^{1} \frac{t^{10}}{1+t^2 }dt}$$ となり$\hspace{2pt}t\hspace{2pt}$の分数関数に変形することができます。
　

もしくは、$\displaystyle I_n = \int_0^\frac{\pi}{4} \tan^n x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}$$\hspace{2pt}(n=0,1,2\cdots)\hspace{2pt}$とおき、$I_n\hspace{2pt}$の漸化式を作ることで求めることもできます。

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt} I_n &= \int_0^\frac{\pi}{4} \tan^n x \hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int_0^\frac{\pi}{4} (\tan^2 x) \tan^{n-2} x \hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int_0^\frac{\pi}{4} \left\{ \frac{1}{\cos^2 x} -1 \right \}\cdot \tan^{n-2}x \hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int_0^\frac{\pi}{4} \frac{1}{\cos^2 x} \tan^{n-2}x \hspace{1pt}dx - I_{n-2} \\[1em] \end{aligned} $$

と変形し、$\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{4} \frac{1}{\cos^2 x} \tan^{n-2}x \hspace{1pt}dx \hspace{2pt}$の値を求めれば、$I_n\hspace{2pt}$と$\hspace{2pt}I_{n-2}\hspace{2pt}$の漸化式を求められます。

漸化式を用いて$\hspace{2pt}I_{10}\hspace{2pt}$から順に$\hspace{2pt}I_8\hspace{2pt},\hspace{2pt}$$I_6\hspace{2pt},I_4\hspace{2pt}\cdots \hspace{2pt}$と$\hspace{1pt}n\hspace{1pt}$を小さくすることで計算します。
　

【解答】
　問題 :『定積分$\displaystyle\hspace{2pt}\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^{10} x\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}$を求めよ』
　

置換積分法から$\hspace{2pt}t = \tan x\hspace{2pt}$とおきます。

変数$\hspace{2pt}x\hspace{2pt}$と$\hspace{2pt}t\hspace{2pt}$の積分区間は以下のように対応します。

${x}$	${\displaystyle 0 \to \frac{\pi}{4}}$
${t}$	$\displaystyle{ 0 \to 1}$

また、$\displaystyle{t = \tan x }$ の両辺を$\hspace{2pt}x\hspace{2pt}$で微分すると $$ \begin{aligned} \hspace{10pt}\frac{dt}{dx} &= \frac{1}{\cos^2 x} \\[1em] \hspace{10pt}&= 1+\tan^2 x\\[1em] \hspace{10pt}&= 1 + t^2\\[1em] \end{aligned} $$ すなわち、$\displaystyle dx = \frac{1}{1 + t^2} \hspace{1pt}dt\hspace{2pt}$と表せます。

変数を置き換えると $${\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^{10} x \hspace{1pt}dx = \int_0^{1} \frac{t^{10}}{1+t^2 }dt}$$ となります。

ここで、被積分関数$\displaystyle\hspace{2pt}\frac{t^{10}}{1+t^2 }\hspace{2pt}$は『分子の次数』≧『分母の次数』の分数関数であるため、分子の関数を分母の関数で割ると

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int_0^{1} \frac{t^{10}}{1+t^2 }dt\\[1.4em] \hspace{10pt}&= \int_0^{1} \left\{ t^8 -t^6 + t^4 -t^2 + 1 -\frac{1}{1+t^2 } \right\}dt\hspace{10pt}\\[1.4em] \end{aligned} $$

となります。

ここで、$\displaystyle\int_0^{1} \frac{1}{1+t^2 } dt\hspace{2pt}$を求めます。

置換積分法から変数を$\hspace{2pt}t = \tan u\hspace{2pt}$とおいて積分します。

変数$\hspace{2pt}t\hspace{2pt}$の範囲に対応する変数$\hspace{2pt}u\hspace{2pt}$を求めると、以下のようになります。

${t}$	${\displaystyle 0 \to 1}$
${u}$	$\displaystyle{0 \to \frac{\pi}{4}}$

また、${t = \tan u}$ の両辺を$\hspace{2pt}u\hspace{2pt}$で微分すると、$\displaystyle\frac{dt}{du} = \frac{1}{\cos^2 u}\hspace{2pt}$となります。すなわち、$\displaystyle{dt = \frac{1}{\cos^2 u} \hspace{1pt} du}$ と表せます。

すなわち $$ \begin{aligned} & \int_0^1 \frac{1}{t^2+1}\hspace{1pt}dt\\[1em] & = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\tan^2 u + 1}\cdot \frac{1}{\cos^2 u} \hspace{1pt} du\\[1em] & = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^2 u \cdot \frac{1}{\cos^2 u} \hspace{1pt} du\\[1em] & = \int_0^{\frac{\pi}{4}} 1 \hspace{1pt} du\\[1em] & =[u]_0^{\frac{\pi}{4}}\\[1em] & =\frac{\pi}{4} \end{aligned} $$ と求められます。

よって

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int_0^{1} \left\{ t^8 -t^6 + t^4 -t^2 + 1 -\frac{1}{1+t^2 } \right\}dt\\[1.4em] \hspace{10pt}&= \left [ \frac{1}{9}t^9 -\frac{1}{7}t^7 + \frac{1}{5}t^5 -\frac{1}{3}t^3 + t \right ]_0^1 - \frac{\pi}{4}\hspace{10pt}\\[1.4em] \hspace{10pt}&= \frac{1}{9} -\frac{1}{7} + \frac{1}{5} -\frac{1}{3} + 1 - \frac{\pi}{4}\\[1.4em] \hspace{10pt}&= \frac{263}{315} - \frac{\pi}{4} \end{aligned} $$

と求められます。
　

【別解】
　問題 :『定積分$\displaystyle\hspace{2pt}\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^{10} x\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}$を求めよ』
　

$\displaystyle I_n = \int_0^\frac{\pi}{4} \tan^n x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}$$\hspace{2pt}(n=0,1,2\cdots)\hspace{2pt}$とおき、$I_n\hspace{2pt}$の漸化式を求めます。

$n \geqq 2\hspace{2pt}$とします。

ここで、$\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{4} \frac{1}{\cos^2 x} \tan^{n-2}x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}$を求めます。

${t= \tan x}$ とおくと、変数$\hspace{2pt}x\hspace{2pt}$の範囲に対応する変数$\hspace{2pt}t\hspace{2pt}$は以下のようになります。

${x}$	${\displaystyle 0 \to \frac{\pi}{4}}$
${t}$	$\displaystyle{0 \to 1}$

${t= \tan x}$ の両辺を$\hspace{2pt}t\hspace{2pt}$で微分すると、三角関数の微分公式から $${\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\cos^2 x} }$$ となります。すなわち、$\displaystyle{dt = \frac{1}{\cos^2 x} \hspace{1pt} dx}$ と表せます。

積分を計算すると、以下のようになります。

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int_0^\frac{\pi}{4} \frac{1}{\cos^2 x} \tan^{n-2}x \hspace{1pt}dx\\[1em] &= \int_0^1 t^{n-2} \hspace{1pt}dt\\[1em] &= \left[ \frac{1}{n-1}t^{n-1}\right ]_0^1 \\[1em] &= \frac{1}{n-1} \\[1em] \end{aligned} $$

すなわち $${I_n = \frac{1}{n-1} - I_{n-2}}$$ となります。

上式を用いて$\hspace{2pt}I_{10}\hspace{2pt}$を求めます。

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt} I_{10} &= \hspace{10pt}\frac{1}{9}\hspace{10pt} - I_{8} \\[1em] \hspace{10pt} & = \hspace{10pt}\frac{1}{9} \hspace{10pt}- \left( \frac{1}{7} - I_{6}\right) \\[1em] \hspace{10pt} & = \hspace{2pt}-\frac{2}{63}\hspace{3pt} + \left( \frac{1}{5} - I_{4}\right) \\[1em] \hspace{10pt} & = \hspace{9pt}\frac{53}{315} - \left( \frac{1}{3} - I_{2}\right) \\[1em] \hspace{10pt} & = -\frac{52}{315} + \left(1- I_{0}\right) \\[1em] \hspace{10pt} & = \hspace{9pt}\frac{263}{315} - I_{0} \\[1em] \end{aligned} $$

ここで $$ \begin{aligned} \hspace{10pt} I_0 & = \int_0^\frac{\pi}{4} \tan^0 x \hspace{1pt}dx \\[1em] \hspace{10pt} & = \int_0^\frac{\pi}{4}1 \hspace{1pt}dx \\[1em] \hspace{10pt} & = \left[ x\right]_0^\frac{\pi}{4} \\[1em] \hspace{10pt} & = \frac{\pi}{4} \\[1em] \end{aligned} $$ であることから $${I_{10} = \frac{263}{315} -\frac{\pi}{4}}$$ と求められます。
　

【関連するページ】
・置換積分
　

\({x}\)	\({\displaystyle 0 \to \frac{\pi}{4}}\)
\({t}\)	\(\displaystyle{ 0 \to 1}\)

\({t}\)	\({\displaystyle 0 \to 1}\)
\({u}\)	\(\displaystyle{0 \to \frac{\pi}{4}}\)

\({x}\)	\({\displaystyle 0 \to \frac{\pi}{4}}\)
\({t}\)	\(\displaystyle{0 \to 1}\)

tanxの10乗の定積分