◆第問目！
被積分関数が二重根号となっているため、まずは二重根号を外す方法を考えます。
置換積分法から $${t = \sqrt{x + \sqrt{x^2 + 1}}}$$ と根号全体を置き換えると、根号を外すことができます。
【答え】
\(\displaystyle \frac{1}{3}(x + \sqrt{x^2 + 1})^{\frac{3}{2}} - \frac{ 1 }{\sqrt{x + \sqrt{x^2 + 1}}} +C \)
(ただし、\(C\hspace{2pt}\)は積分定数)
【解答のポイント】
置換積分法から
$${t = \sqrt{x + \sqrt{x^2 + 1}}}$$
と根号全体を置き換えると、被積分関数の根号を外すことができます。
【解答】
問題 :『不定積分\(\displaystyle\hspace{2pt}\int \sqrt{x + \sqrt{x^2 + 1}}\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}\)を求めよ』
置換積分法から
$$t = \sqrt{x + \sqrt{x^2 + 1}} $$
とおきます。
ここで、\(\sqrt{x^2 + 1} > \sqrt{x^2} = |x| \hspace{2pt}\)となることから
\(x \geqq 0\hspace{2pt}\)のとき
\(x < 0\hspace{2pt}\)のとき
したがって、すべての実数\(\hspace{2pt}x\hspace{2pt}\)に対して\(\hspace{2pt}t > 0\hspace{2pt}\)となります。
\(t = \sqrt{x + \sqrt{x^2 + 1}}\hspace{2pt}\)を\(\hspace{2pt}x\hspace{2pt}\)について解くと $$ \begin{aligned} t^2 & = x + \sqrt{x^2 + 1} \\[1em] \sqrt{x^2 + 1} &= t^2-x\\[1em] x^2 + 1 &=(t^2 - x)^2\\[1em] x^2 + 1 &= t^4 -2x t^2 + x^2\\[1em] 2x t^2 &= t^4 -1\\[1em] x &= \frac{ t^4 -1}{2t^2}\\[1em] \end{aligned} $$ となります。
\(\displaystyle{x = \frac{ t^4 -1}{2t^2} }\) の両辺を\(\hspace{2pt}t\hspace{2pt}\)で微分すると商の微分公式から $$ \begin{aligned} \frac{dx}{dt} & =\frac{4t^3 (2t^2) - (t^4-1) (4t)}{(2t^2)^2} \\[1.4em] &= \frac{8t^5 - 4t^5 + 4t }{4t^4}\\[1.4em] &= \frac{ t^5 + t }{t^4}\\[1.4em] &= t + \frac{ 1 }{t^3}\\[1.4em] \end{aligned} $$ すなわち、\(\displaystyle{dx = \left( t + \frac{ 1 }{t^3}\right)\hspace{1pt} dt}\) と表せます。
変数を置き換えて積分すると
となります。(ただし、\(C\hspace{2pt}\)は積分定数)
したがって、\(t = \sqrt{x + \sqrt{x^2 + 1}}\hspace{2pt}\)から変数を\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)に戻せばよいので
となります。
【関連するページ】
・置換積分