1/(e^x+4e^-x-2)の定積分の問題と解き方

【答え】
　$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{18}\pi $
　

【解答のポイント】
まずは置換積分法から$\hspace{2pt}t = e^x\hspace{2pt}$と置き換えて、被積分関数を$\hspace{2pt}t\hspace{2pt}$の関数で表します。

変数を$\hspace{2pt}t\hspace{2pt}$に置き換えると $${\int_{ 2}^{ 4} \frac{1}{t^2 -2t + 4}dt}$$ となります。

被積分関数は『(分母の次数) > (分子の次数)』の関係の分数関数であるため、因数分解して部分分数分解をしたいところですが、分母の関数は実数の範囲で因数分解できません。

そこで、分母を平方完成して置換積分ができる $\displaystyle{\frac{1}{(x+p)^2 + a^2}\hspace{2pt}}$の式に変形し $$ x+p =a \tan \theta $$ と置き換えて積分します。
　

【解答】
　問題 :『定積分$\displaystyle\hspace{2pt}\int_{\log 2}^{\log 4} \frac{1}{e^x +4e^{-x}-2}\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}$を求めよ』
　

置換積分法から$\hspace{2pt}\displaystyle{t = e^x \hspace{2pt}}$とおき計算します。

変数$\hspace{2pt}x\hspace{2pt}$の範囲に対応する変数$\hspace{2pt}t\hspace{2pt}$を求めると、以下のようになります。

${x}$	${\log 2 \to \log 4}$
${t}$	$\displaystyle{2 \to 4}$

(上記の$\hspace{2pt}t\hspace{2pt}$の値は$\hspace{2pt}p = e^{\log q}\hspace{2pt}$としたときに両辺に$\hspace{2pt}\log\hspace{2pt}$をとると$\hspace{2pt}\log p = \log e^{{\log q}}\hspace{2pt}$すなわち$\hspace{2pt}\log p = \log q\hspace{2pt}$より$\hspace{2pt}p=q\hspace{2pt}$から求められます。)

また、$\displaystyle{t = e^x }$ の両辺を$\hspace{2pt}x\hspace{2pt}$で微分すると$\displaystyle\hspace{2pt}\frac{dt}{dx} = e^x\hspace{2pt}$となります。
すなわち、$\displaystyle{dt = e^x\hspace{1pt} dx}$ と表せます。

変数を置き換えて積分すると

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int_{\log 2}^{\log 4} \frac{1}{e^x +4e^{-x}-2}\hspace{1pt}dx \\[1.4em] &=\int_{\log 2}^{\log 4} \frac{e^x}{e^{2x} +4-2e^x}\hspace{1pt}dx\\[1.4em] &=\int_{ 2}^{ 4} \frac{1}{t^2 -2t + 4}\hspace{1pt}dt\\[1.4em] \end{aligned} $$

となります。

被積分関数の分母を平方完成して変形すると

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int_{ 2}^{ 4} \frac{1}{t^2 -2t + 4}\hspace{1pt}dt\\[1.4em] & = \int_2^{4} \frac{1}{\left(t-1\right)^2 +(\sqrt{3})^2}\hspace{1pt}dt \\[1em] \end{aligned} $$

となります。

置換積分法から$\hspace{2pt}\displaystyle{t -1 = \sqrt{3}\tan \theta \hspace{2pt}}$とおき計算します。

変数$\hspace{2pt}t\hspace{2pt}$の範囲に対応する変数$\hspace{2pt}\theta\hspace{2pt}$を求めると、以下のようになります。

${t}$	${2 \to 4}$
${\theta}$	$\displaystyle{\frac{\pi}{6} \to \frac{\pi}{3} }$

また、$\displaystyle{t -1 = \sqrt{3}\tan \theta }$ の両辺を$\hspace{2pt}\theta\hspace{2pt}$で微分すると三角関数の微分公式から $${\frac{dt}{d\theta} = \frac{\sqrt{3}}{\cos^2 \theta} }$$ となります。すなわち、$\displaystyle{dt = \frac{\sqrt{3}}{\cos^2 \theta} \hspace{1pt} d\theta}$ と表せます。

変数を置き換えて積分すると

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int_2^{4} \frac{1}{\left(t-1\right)^2 +(\sqrt{3})^2}\hspace{1pt}dt \\[1.4em] &=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{3 (\tan^2 \theta +1)}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\cos^2 \theta} \hspace{1pt} d\theta\\[1.4em] &=\frac{1}{\sqrt{3}}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \cos^2 \theta \cdot \frac{1}{\cos^2 \theta} \hspace{1pt} d\theta\\[1.4em] &=\frac{1}{\sqrt{3}}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} 1 \hspace{1pt} d\theta\\[1.4em] &=\frac{1}{\sqrt{3}}[\theta]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \\[1.4em] &=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} \right) \\[1.4em] &=\frac{\sqrt{3}}{18}\pi \\[1.4em] \end{aligned} $$

となります。
　

【関連するページ】
・置換積分
　

\({x}\)	\({\log 2 \to \log 4}\)
\({t}\)	\(\displaystyle{2 \to 4}\)

\({t}\)	\({2 \to 4}\)
\({\theta}\)	\(\displaystyle{\frac{\pi}{6} \to \frac{\pi}{3} }\)