分数関数1/(x^2+1)のn乗の定積分の問題と解き方

【答え】

　(1) $\displaystyle I_1 = \frac{\pi}{4}\hspace{2pt}$

　(2) 証明問題のため省略

　(3) $\displaystyle I_3 = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4}$

　　 $\displaystyle \hspace{2pt} I_4 = \frac{3}{32}\pi + \frac{1}{4}$
　

【解答のポイント】
問題(2)の$\displaystyle \hspace{2pt}I_n = \int_0^1 \frac{1}{(x^2+1)^n} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}$が満たす漸化式を求める問題では、部分積分から漸化式を求めることができます。

部分積分とは、2つの微分可能な関数 ${f(x),\hspace{3pt}g(x)}$ の積分に以下が成り立つことを利用して積分する方法です。

$$ \begin{aligned} &\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)\hspace{1pt}dx \\ &\hspace{2pt}= f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx \\ \end{aligned} $$

本問では、まず${\displaystyle\hspace{2pt}f'(x)= 1}$$\displaystyle \hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)= \frac{1}{(x^2+1)^n}\hspace{2pt}$とすることで積分することができます。
　

【問題(1)の解答】
　問題 :『$\displaystyle I_n =\int_0^1 \frac{1}{(x^2+1)^n} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}$$\hspace{2pt}(n=1,2,3\cdots)\hspace{2pt}$とおくとき、$\displaystyle I_1\hspace{2pt}$を求めよ』
　

$I_1 \hspace{2pt}$は以下の式で表されます。 $${I_1 = \int_0^1 \frac{1}{(x^2+1)}\hspace{1pt}dx }$$

置換積分法から変数を$\hspace{2pt}x = \tan \theta\hspace{2pt}$とおいて積分します。

変数$\hspace{2pt}x\hspace{2pt}$の範囲に対応する変数$\hspace{2pt}\theta\hspace{2pt}$を求めると、以下のようになります。

${x}$	${\displaystyle 0 \to 1}$
${\theta}$	$\displaystyle{0 \to \frac{\pi}{4}}$

また、${x= \tan \theta}$ の両辺を$\hspace{2pt}\theta\hspace{2pt}$で微分すると、三角関数の微分公式から $${\frac{dx}{d\theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta} }$$ となります。すなわち、$\displaystyle{dx = \frac{1}{\cos^2 \theta} \hspace{1pt} d\theta}$ と表せます。

すなわち $$ \begin{aligned} I_1 &= \int_0^1 \frac{1}{x^2+1}\hspace{1pt}dx\\[1em] & = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\tan^2 \theta + 1}\cdot \frac{1}{\cos^2 \theta} \hspace{1pt} d\theta\\[1em] & = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^2 \theta \cdot \frac{1}{\cos^2 \theta} \hspace{1pt} d\theta\\[1em] & = \int_0^{\frac{\pi}{4}} 1 \hspace{1pt} d\theta\\[1em] & =[x]_0^{\frac{\pi}{4}}\\[1em] & =\frac{\pi}{4} \end{aligned} $$ と求められます。
　

【問題(2)の解答】
　問題 :『$\displaystyle I_n =\int_0^1 \frac{1}{(x^2+1)^n} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}$$\hspace{2pt}(n=1,2,3\cdots)\hspace{2pt}$とおくとき、$\displaystyle I_{n+1} = \left(1-\frac{1}{2n} \right)I_n +\frac{1}{2^{n+1} n}\hspace{2pt}$を示せ』
　

部分積分から$\hspace{2pt}I_{n}\hspace{2pt}$を変形して漸化式を求めます。

$$ \begin{aligned} \hspace{15pt}I_{n} &= \int_0^1 \frac{1}{(x^2+1)^{n}} \hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int_0^1 (x)' \cdot \frac{1}{(x^2+1)^{n}} \hspace{1pt}dx \\[1em] &= \left[x \cdot \frac{1}{(x^2+1)^{n}} \right]_0^1 - \int_0^1 x \cdot \frac{-n\cdot 2x}{(x^2+1)^{n+1}} \hspace{1pt}dx\\[1em] &= \frac{1}{2^{n}} + 2n \int_0^1 \frac{x^2}{(x^2+1)^{n+1}} \hspace{1pt}dx\\[1em] &= \frac{1}{2^{n}} + 2n \int_0^1 \frac{x^2 + 1 - 1}{(x^2+1)^{n+1}} \hspace{1pt}dx\\[1em] &= \frac{1}{2^{n}} + 2n \left \{\int_0^1 \frac{x^2 + 1 }{(x^2+1)^{n+1}} \hspace{1pt}dx - \int_0^1 \frac{ 1 }{(x^2+1)^{n+1}} \hspace{1pt}dx \right \}\hspace{10pt}\\[1em] &= \frac{1}{2^{n}} + 2n \left \{\int_0^1 \frac{1 }{(x^2+1)^{n}} \hspace{1pt}dx - \int_0^1 \frac{ 1 }{(x^2+1)^{n+1}} \hspace{1pt}dx \right \}\\[1em] &= \frac{1}{2^{n}} + 2n \left \{I_{n} - I_{n+1} \right \}\\[1em] \end{aligned} $$

したがって、$I_{n+1}\hspace{2pt}$について解くと $${I_{n+1} = \left(1-\frac{1}{2n} \right)I_n +\frac{1}{2^{n+1} n}}$$ となります。
　

【問題(3)の解答】
　問題 :『$\displaystyle I_n =\int_0^1 \frac{1}{(x^2+1)^n} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}$$\hspace{2pt}(n=1,2,3\cdots)\hspace{2pt}$とおくとき、$\displaystyle I_2 \hspace{1pt}, \hspace{1pt} I_3 \hspace{2pt}$を求めよ』
　

問題(1)の$\displaystyle\hspace{2pt}I_1 = \frac{\pi}{4}\hspace{2pt}$と問題(2)の漸化式 $$I_{n+1} = \left(1-\frac{1}{2n} \right)I_n +\frac{1}{2^{n+1} n}$$ から$\displaystyle \hspace{2pt}I_2 \hspace{1pt}, \hspace{1pt}I_3\hspace{2pt}$を求めます。

$$ \begin{aligned} I_2 &= \left(1 -\frac{1}{2} \right) I_{1} + \frac{1}{2^2 \times 1}\\[1em] &= \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4}\\[1em] \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} I_3 &= \left(1 -\frac{1}{4} \right) I_{2} + \frac{1}{2^3 \times 2}\\[1em] &=\frac{3}{4} \left( \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4} \right) + \frac{1}{16}\\[1em] &= \frac{3}{32}\pi + \frac{1}{4}\\[1em] \end{aligned} $$

と求められます。
　

【$\hspace{2pt}n\hspace{2pt}$乗の積分】
　本問のように関数を$\hspace{1pt}n\hspace{1pt}$乗した定積分を求める問題は
　　① 部分積分から積分を計算する
　　② 漸化式を作る
　　③ 定積分の値や一般解、極限値を求める
　という流れが定石です。

　通常は問題に誘導が付きますが、誘導がなくても手順を思い出せるようにしておきましょう。

本問の類題としては、三角関数$\hspace{2pt}\sin x\hspace{2pt}$の$\hspace{2pt}n\hspace{2pt}$乗の定積分 $${\int_0^\frac{\pi}{2} \sin^n x \hspace{1pt}dx }$$ タンジェントの$\hspace{2pt}n\hspace{2pt}$乗の定積分 $${\int_0^\frac{\pi}{4} \tan^n x \hspace{1pt}dx }$$ 対数関数の$\hspace{2pt}n\hspace{2pt}$乗の積分 $${\int (\log x)^n \hspace{1pt}dx }$$ などがあります。
　

【関連するページ】
・置換積分法

・部分積分
　

\({x}\)	\({\displaystyle 0 \to 1}\)
\({\theta}\)	\(\displaystyle{0 \to \frac{\pi}{4}}\)

分数関数のn乗の定積分と漸化式