tanxのn乗の定積分(積分漸化式)の問題と解き方

【答え】
　(1) $\displaystyle I_n + I_{n+2}= \frac{1}{n+1} $

　(2) 証明問題のため省略

　(3) $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} n I_n= \frac{1}{2} $
　

【解答のポイント】
　本問は三角関数$\hspace{2pt}\tan x\hspace{2pt}$の$\hspace{2pt}n\hspace{2pt}$乗の定積分から極限を求める問題です。

三角関数の$\hspace{2pt}n\hspace{2pt}$乗の積分は部分積分を利用する手法が定番ですが、本問は部分積分を用いずに$\hspace{2pt}I_n + I_{n+2}\hspace{2pt}$の値から極限値を求める問題となっています。
　

問題(3)の極限値$\displaystyle \hspace{2pt}\lim_{n \rightarrow \infty} n I_n\hspace{2pt}$は$\hspace{2pt}I_n\hspace{2pt}$に関する不等式を用いて『はさみうちの原理』から求めます。

はさみうちの原理とは、ある関数$\hspace{1pt}f(x),g(x),h(x)\hspace{1pt}$について $${f(x) \leqq h(x) \leqq g(x)}$$ が成り立つ場合 $$ \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \alpha , \lim_{x \rightarrow \infty} g(x) = \alpha $$ であるとき $${\lim_{x \rightarrow \infty} h(x) = \alpha }$$ と極限値を求める手法のことをいいます。

本問のように『不等式の証明』と『極限を求める』という問題がセットになっている場合は、はさみうちの原理を用いると考えましょう。
　

【問題(1)の解答】
　問題 :『$\displaystyle I_n = \int_0^\frac{\pi}{4} \tan^n x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}$$\hspace{2pt}(n=0,1,2,\cdots)\hspace{2pt}$とおくとき$\hspace{2pt}\displaystyle I_n + I_{n+2}\hspace{2pt}$を求めよ』
　

$I_n + I_{n+2}\hspace{2pt}$を計算すると以下のようになります。

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& I_n + I_{n+2}\\[1em] &= \int_0^\frac{\pi}{4} \tan^n x \hspace{1pt}dx + \int_0^\frac{\pi}{4} \tan^{n+2} x \hspace{1pt}dx\hspace{10pt} \\[1em] &= \int_0^\frac{\pi}{4} (1 +\tan^2 x)\tan^n x \hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int_0^\frac{\pi}{4} \frac{1}{\cos^2 x} \cdot \tan^n x \hspace{1pt}dx \\[1em] \end{aligned} $$

ここで、${t= \tan x}$ とおきます。

変数$\hspace{2pt}x\hspace{2pt}$の範囲に対応する変数$\hspace{2pt}t\hspace{2pt}$を求めると、以下のようになります。

${x}$	${\displaystyle 0 \to \frac{\pi}{4}}$
${t}$	$\displaystyle{0 \to 1}$

${t= \tan x}$ の両辺を$\hspace{2pt}t\hspace{2pt}$で微分すると、三角関数の微分公式から $${\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\cos^2 x} }$$ となります。すなわち、$\displaystyle{dt = \frac{1}{\cos^2 x} \hspace{1pt} dx}$ と表せます。

積分を計算すると、以下のようになります。

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int_0^\frac{\pi}{4} \frac{1}{\cos^2 x} \cdot \tan^n x \hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int_0^1 t^n \hspace{1pt}dt \\[1em] &= \left[ \frac{1}{n+1} t^{n+1}\right]_0^1\\[1em] &= \frac{1}{n+1} \\[1em] \end{aligned} $$

したがって $${I_n + I_{n+2}= \frac{1}{n+1}}$$ となります。
　

【問題(2)の解答】
　問題 :『$\displaystyle I_n = \int_0^\frac{\pi}{4} \tan^n x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}$$\hspace{2pt}(n=0,1,2,\cdots)\hspace{2pt}$とおくとき$\hspace{2pt}\displaystyle I_n > I_{n+1}\hspace{2pt}$を示せ』
　

$\displaystyle \hspace{2pt}0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}\hspace{2pt}$において$\hspace{2pt}0 \leqq \tan x \leqq 1\hspace{2pt}$であることから $${\tan^{n+1}x \leqq \tan^n x}$$ となります。(等号が成立するのは$\hspace{2pt}\tan x = 0 , 1\hspace{2pt}$のときです。)

すなわち $${\int_0^\frac{\pi}{4} \tan^{n+1}x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt} < \int_0^\frac{\pi}{4} \tan^n x \hspace{1pt}dx}$$ となります。

よって $${\displaystyle I_n > I_{n+1}\hspace{2pt}}$$ となります。
　

【問題(3)の解答】
　問題 :『$\displaystyle I_n = \int_0^\frac{\pi}{4} \tan^n x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}$$\hspace{2pt}(n=0,1,2,\cdots)\hspace{2pt}$とおくとき$\hspace{2pt}\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} n I_n\hspace{2pt}$を求めよ』
　

問題(2)で示した不等式$\hspace{2pt}I_n > I_{n+1}\hspace{2pt}$から $${\displaystyle I_n > I_{n+1} > I_{n+2}\hspace{2pt}}$$ すなわち $${\displaystyle I_n > I_{n+2}\hspace{2pt}\cdots (1)}$$ となります。

また、$n \geqq 2 \hspace{2pt}$であるとき $${\displaystyle I_{n-2} > I_{n-1} > I_{n}\hspace{2pt}}$$ すなわち $${\displaystyle I_{n-2} > I_{n}\hspace{2pt}\cdots (2)}$$ となります。

(1),(2)の不等式から $${\displaystyle I_{n-2} > I_{n} > I_{n+2} }$$ となります。

上式に$\hspace{2pt}I_n\hspace{2pt}$を加えると $${\displaystyle I_{n-2} +I_n > 2I_{n} > I_n + I_{n+2} }$$ すなわち $${\displaystyle \frac{1}{2}(I_{n-2} +I_n ) > I_{n} > \frac{1}{2}(I_n + I_{n+2})}$$ さらに、$n\hspace{2pt}$$\hspace{2pt}( n \geqq 2)\hspace{2pt}$をかけると

$${\displaystyle \hspace{10pt}\frac{n}{2}(I_{n-2} +I_n ) > n I_{n} > \frac{n}{2}(I_n + I_{n+2})\hspace{2pt}\cdots (3)\hspace{10pt}}$$

となります。

(3)式からはさみうちの原理を用いて$\displaystyle \hspace{2pt}\lim_{n \rightarrow \infty} n I_n\hspace{2pt}$を求めます。

問題(1)の結果から $$ \begin{aligned} & \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{2}(I_n + I_{n+2})\\[1em] &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{2(n+1)}\\[1em] &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2(1+\frac{1}{n})}\\[1em] &= \frac{1}{2}\\[1em] \end{aligned} $$

また $$ \begin{aligned} & \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{2}(I_{n-2} +I_n )\\[1em] &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{2((n-2)+1)}\\[1em] &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{2n-3}\\[1em] &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2-\frac{3}{n}}\\[1em] &= \frac{1}{2}\\[1em] \end{aligned} $$

したがって、はさみうちの原理から $${\lim_{n \rightarrow \infty} n I_n = \frac{1}{2}}$$ と求められます。
　

【入試本番に向けたアドバイス】
　本問は三角関数$\hspace{2pt}\tan x\hspace{2pt}$の$\hspace{2pt}n\hspace{2pt}$乗の定積分から極限値を求める問題です。

三角関数の$\hspace{2pt}n\hspace{2pt}$乗の積分は部分積分を利用する手法が定番ですが、本問は部分積分を用いずに$\hspace{2pt}I_n + I_{n+2}\hspace{2pt}$の値から極限値$\displaystyle\hspace{2pt} \lim_{n \rightarrow \infty} n I_n \hspace{2pt}$を求める問題となっています。

本問の類題としては、三角関数$\hspace{2pt}\sin x\hspace{2pt}$の$\hspace{2pt}n\hspace{2pt}$乗の定積分 $${\int_0^\frac{\pi}{2} \sin^n x \hspace{1pt}dx }$$ 対数関数の$\hspace{2pt}n\hspace{2pt}$乗の積分 $${\int (\log x)^n \hspace{1pt}dx }$$ 分数関数の$\hspace{2pt}n\hspace{2pt}$乗の積分 $${\int \frac{1}{(x^2+a^2)^n} \hspace{1pt}dx }$$ などがあります。
　

【定積分を素早く求める】
問題(1)の定積分の計算では $${\int_0^\frac{\pi}{4} \frac{1}{\cos^2 x} \cdot \tan^n x \hspace{1pt}dx}$$ を置換積分法から$\hspace{2pt}t=\tan x\hspace{2pt}$とおいて積分しました。

この積分は$\displaystyle\hspace{2pt}\int f'(x) (f(x))^n\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}$の形式であることから、置き換えを省略して $$ \begin{aligned} & \int_0^\frac{\pi}{4} \frac{1}{\cos^2 x} \cdot \tan^n x \hspace{1pt}dx\\[1em] &= \int_0^\frac{\pi}{4} ( \tan x)' \cdot \tan^n x \hspace{1pt}dx\\[1em] &= \left[ \frac{1}{n+1} \tan^{n+1} x\right]_0^\frac{\pi}{4}\\[1em] &= \frac{1}{n+1}\\[1em] \end{aligned} $$ と計算することで素早く定積分を求めることができます。

$\displaystyle\hspace{2pt}\int f'(x) (f(x))^n\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}$の形式の積分はよく現れる形式のため覚えておくと計算が速くなります。
　

【関連するページ】
・置換積分法
　

\({x}\)	\({\displaystyle 0 \to \frac{\pi}{4}}\)
\({t}\)	\(\displaystyle{0 \to 1}\)