|x^2-t|x||の定積分

【問題(1)の答え】
　\(0 < t < 1\hspace{2pt}\)のとき\(\displaystyle\hspace{3pt}\frac{2}{3}t^3-t+\frac{2}{3}\)

　\(t \geqq 1\hspace{2pt}\)のとき\(\displaystyle\hspace{3pt}t-\frac{2}{3}\)
　

【問題(2)の答え】
　\(\displaystyle\hspace{1pt}t = \frac{ \sqrt{2}}{2}\hspace{1pt}\)のとき最小値\(\displaystyle\hspace{2pt} \frac{2-\sqrt{2}}{3}\)
　

【解答のポイント】
被積分関数に絶対値記号を含む場合、絶対値を外して積分する必要があります。

絶対値記号は、中身が正か負かで場合分けをすることで外すことができます。 $$|x| = \begin{dcases} x & ( x \geqq 0 ) \\ -x & ( x \lt 0 ) \end{dcases} $$

本問のように二重で絶対値記号が付いている場合は、まず内側の絶対値記号が外れるように場合分けします。

本問では、被積分関数を\(\hspace{2pt}f(x) = \left |x^2 - t |x|\right |\hspace{2pt}\)とすると、\(f(-x)=f(x)\hspace{2pt}\)となることから問題の被積分関数が\(\hspace{2pt}y\hspace{1pt}\)軸対称となります。

つまり、\(x \geqq 0\hspace{2pt}\)の範囲のみでグラフを描けば、全体のグラフを描くことができます。
　

問題の被積分関数\(\hspace{2pt}y = \left |x^2 - t |x|\right |\hspace{2pt}\)のグラフは以下のようになることから、積分区間\(\hspace{1pt}[-1,1]\hspace{1pt}\)に\(\hspace{2pt}x=-t,t\hspace{2pt}\)が含まれるかどうかで場合分けして絶対値記号を外します。
　

【問題(1)の解答】
　問題 :『次の問いに答えよ。ただし、\(t \hspace{2pt}\)は正の実数とする。
　(1) \(\displaystyle \hspace{2pt}\int_{-1}^{1} \left |x^2 - t |x|\right |dx\hspace{2pt}\)を求めよ
　(2) (1)の定積分の最小値とそのときの\(\hspace{2pt}t\hspace{2pt}\)を求めよ』
　

\(\hspace{2pt}f(x) = \left |x^2 - t |x|\right |\hspace{2pt}\)とすると、\(f(-x)=f(x)\hspace{2pt}\)となることから問題の被積分関数は\(\hspace{2pt}y\hspace{1pt}\)軸対称となります。

\(x \geqq 0\hspace{1pt}\)の範囲で考えると、\(|x| = x\hspace{2pt}\)であることから $$ \begin{aligned} f(x )& =\left |x^2 - t |x|\right | \\[0.5em] & = \left |x^2 - t x\right | \\[0.5em] & = \left |x(x-t)\right | \cdots (1)\\[0.5em] \end{aligned} $$ となります。

(1)式において\(\hspace{2pt}t > 0\hspace{2pt}\)より
　\(0 \leqq x < t\hspace{2pt}\)のとき $${ \left |x(x-t)\right |= - x(x-t) }$$ 　\(x \geqq t\hspace{2pt}\)のとき $${ \left |x(x-t)\right |= x(x-t) }$$ 　となります。

上式から、\(x \geqq 0 \hspace{2pt}\)における被積分関数\(\hspace{2pt}y = \left |x^2 - t |x|\right |\hspace{2pt}\)のグラフを描くことができます。

また、\(\hspace{2pt}x < 0 \hspace{2pt}\)の範囲は上式で表されるグラフを\(\hspace{2pt}y\hspace{1pt}\)軸対称で書けばよいので、全体のグラフは以下のようになります。

上図から、積分区間\(\hspace{1pt}[-1,1]\hspace{1pt}\)に\(\hspace{2pt}x=-t,t\hspace{2pt}\)が含まれるかどうかで以下の[1],[2]に場合分けして定積分を計算します。
　・[1]\(\hspace{4pt}0 < t < 1\)
　・[2]\(\hspace{4pt} t \geqq 1\)

[1]\(\hspace{2pt}0 < t < 1\hspace{2pt}\)のとき
　問題の定積分を計算すると、以下のようになります。

[2]\(\hspace{2pt}t \geqq 1\hspace{2pt}\)のとき
　問題の定積分を計算すると、以下のようになります。

以上から

　\(0 < t < 1\hspace{2pt}\)のとき\(\displaystyle\hspace{3pt}\frac{2}{3}t^3-t+\frac{2}{3}\)

　\(t \geqq 1\hspace{2pt}\)のとき\(\displaystyle\hspace{3pt}t-\frac{2}{3}\)

となります。
　

【問題(2)の解答】
　問題 :『次の問いに答えよ。ただし、\(t \hspace{2pt}\)は正の実数とする。
　(1) \(\displaystyle \hspace{2pt}\int_{-1}^{1} \left |x^2 - t |x|\right |dx\hspace{2pt}\)を求めよ
　(2) (1)の定積分の最小値とそのときの\(\hspace{2pt}t\hspace{2pt}\)を求めよ』
　

　\(\displaystyle f(t) = \int_{-1}^{1} \left |x^2 - t |x|\right |dx\hspace{1pt}\)とおき、\(f(t)\hspace{1pt}\)の増減表を作成することで最小値を求めます。
　

・\({0 < t < 1\hspace{2pt}}\)のとき
　\(\displaystyle \hspace{1pt}f(t) = \frac{2}{3}t^3-t+\frac{2}{3}\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}t\hspace{1pt}\)で微分すると $$\displaystyle \hspace{1pt}f'(t)= 2t^2-1\hspace{1pt}$$ 　となります。

　\(f'(t) = 0\hspace{1pt}\)を解くと

から、\(\displaystyle t = \frac{\sqrt{2}}{2} \hspace{1pt}\)となります。

　\(\displaystyle 0 < t < \frac{\sqrt{2}}{2}\hspace{2pt}\)において\(\hspace{2pt}f'(t) < 0\hspace{1pt}\)、\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} < t < 1 \hspace{2pt}\)において\(\hspace{2pt}f'(t) > 0\hspace{2pt}\)となることから、\(f(t)\hspace{2pt}\)は\(\displaystyle \hspace{2pt} t =\frac{\sqrt{2}}{2} \hspace{2pt}\)で極小値となります。
　

・\({t \geqq 1\hspace{2pt}}\)のとき
　\(\displaystyle \hspace{1pt}f(t) = t-\frac{2}{3}\hspace{1pt}\)は、常に\(\hspace{1pt}f'(t)>0\hspace{1pt}\)であるため、\(f(t)\hspace{1pt}\)は単調増加となります。
　

以上から、\(f(t)\hspace{1pt}\)の増減表は以下のようになります。
　

よって、問題の定積分は\(\displaystyle\hspace{1pt}t = \frac{ \sqrt{2}}{2}\hspace{1pt}\)のとき最小値となり、その値は\(\displaystyle\hspace{1pt} \frac{2-\sqrt{2}}{3}\hspace{1pt}\)となります。
　

【入試本番に向けたアドバイス】
本問は定数\(\hspace{1pt}t\hspace{1pt}\)を含んだ絶対値付きの定積分 $${\int_{-1}^{1} \left |x^2 - t |x|\right |dx}$$ を求めた後、\(t\hspace{1pt}\)を変数とみなして定積分の最小値を求める問題です。

このように『定数を含んだ絶対値付きの定積分の最小値・最大値を求める問題』は、数学Ⅱの入試問題で非常に出題頻度の高いパターンのため、必ず解けるようにしておきましょう。

定積分の最小値・最大値を求める問題の基本的な方針は以下のような手順となります。
　① 被積分関数のグラフを描く
　② 必要であれば、定数によって場合分けする
　③ 絶対値記号を外して積分する
　④ \(f(t) = \cdots \hspace{2pt}\)とおいて\(\hspace{1pt}f(t)\hspace{1pt}\)の増減表を作る

絶対値付きの定積分の最小値・最大値の問題は初見では難しそうに思えますが、解答の方針さえ覚えていれば計算自体は難しくない場合が多いです。
問題を何度か解いて慣れておくようにしておきましょう。
　

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