【解答】
対数関数の公式
$$\begin{aligned}
\hspace{10pt}\log_a M^b & =b \log_a M\hspace{10pt}\\[1em]
\log_a \frac{M}{N} & = \log_a M - \log_a N\hspace{10pt}\\[0.5em]
\end{aligned}$$
から問題の関数を変形すると
$$\begin{aligned}
\hspace{10pt}y & =\log \sqrt{\frac{\cos x}{\sin x + 1}}\hspace{10pt}\\[1em]
& = \frac{1}{2} \log \frac{\cos x}{\sin x + 1}\hspace{10pt}\\[1em]
& = \frac{1}{2} (\log \cos x - \log (\sin x + 1))\\[1em]
\end{aligned}$$
となります。
ここで、\(\log \cos x\hspace{1pt}\)を微分すると
$$\begin{aligned}
\hspace{10pt} (\log \cos x)'& =\frac{1}{\cos x} \cdot (\cos x)'\hspace{10pt}\\[1em]
& = \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x)\hspace{10pt}\\[1em]
& = -\frac{\sin x}{\cos x}\\[1em]
\end{aligned}$$
となります。
また、\(\log( \sin x +1)\hspace{1pt}\)を微分すると
$$\begin{aligned}
\hspace{10pt} (\log ( \sin x +1))'& =\frac{1}{\sin x +1} \cdot (\sin x +1)'\hspace{10pt}\\[1em]
& = \frac{1}{\sin x +1} \cdot (\cos x)\hspace{10pt}\\[1em]
& = \frac{\cos x}{\sin x +1} \\[1em]
\end{aligned}$$
となります。
以上から
$$\begin{aligned}
\hspace{10pt}y' & =\frac{1}{2} ((\log \cos x)' - (\log (\sin x + 1))')\hspace{10pt}\\[1em]
& = \frac{1}{2} \left(-\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x +1}\right)\hspace{10pt}\\[1em]
& = -\frac{1}{2} \frac{\sin x(\sin x +1)+\cos^2 x}{\cos x (\sin x +1)} \hspace{10pt}\\[1em]
& = -\frac{1}{2} \frac{\sin x +1}{\cos x (\sin x +1)} \hspace{10pt}\\[1em]
& = - \frac{1}{2\cos x} \hspace{10pt}\\[1em]
\end{aligned}$$
となります。
【関連するページ】
・対数関数の微分公式
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・対数の公式