【解答】
合成関数の微分公式
$${\hspace{10pt}\{f(\hspace{1pt}g(x))\}' = f'(\hspace{1pt}g(x))\hspace{1pt}g'(x)\hspace{10pt}}$$
から微分します。
また、対数関数の微分公式
$$(\log x)' = \frac{1}{x }$$
と三角関数の微分公式
$$(\sin x)' = \cos x$$
から計算します。
$$\begin{aligned}
\hspace{10pt}y' & = 2 (\log (2+\sin x)) \cdot (\log (2+\sin x))'\hspace{10pt}\\[1em]
& = 2 (\log (2+\sin x)) \cdot \frac{1}{2+\sin x} (2+\sin x)' \hspace{10pt}\\[1em]
& = 2 (\log (2+\sin x)) \cdot \frac{1}{2+\sin x} (\cos x) \hspace{10pt}\\[1em]
& = \frac{2 \cos x \log (2+\sin x)}{2+\sin x} \hspace{10pt}\\[1em]
\end{aligned}$$
となります。
【関連するページ】
・合成関数の微分公式
・対数関数の微分公式
・三角関数の微分公式