【解答】
合成関数の微分公式
$${\hspace{10pt}\{f(\hspace{1pt}g(x))\}' = f'(\hspace{1pt}g(x))\hspace{1pt}g'(x)\hspace{10pt}}$$
と三角関数の微分公式
$${\hspace{10pt}(\cos x)' = -\sin x\hspace{10pt}}$$
を使用します。
$${\sqrt{1+\cos x}=(1+\cos x)^{\frac{1}{2}}}$$
であることから微分すると
$$\begin{aligned}
\hspace{10pt}y' & =\frac{1}{2} (1+\cos x)^{-\frac{1}{2}} \{1+\cos x\}'\hspace{10pt}\\[1em]
& = \frac{1}{2} (1+\cos x)^{-\frac{1}{2}} (- \sin x)\\[1em]
& = - \frac{ \sin x}{2 \sqrt{1+\cos x}} \\[1em]
\end{aligned}$$
となります。
【関連するページ】
・合成関数の微分公式
・三角関数の微分公式