sin^3x+cos^3xの最大値と最小値

【解答のポイント】
本問のような\(\hspace{1pt}\sin x\hspace{1pt}\)と\(\hspace{1pt}\cos x\hspace{1pt}\)を入れ替えても成り立つ式を『対称式』といいます。

対称式の問題では、\(\sin x + \cos x= t\hspace{1pt}\)と置き換えて\(\hspace{1pt}t\hspace{1pt}\)に関する最大値・最小値の問題として解きます。

【解答】
まず、関数を\(\hspace{1pt}\sin x + \cos x = t\hspace{1pt}\)により置き換えます。

このとき $${t^2 = 1 + 2 \sin x \cos x}$$ であることから

となります。

ここで、三角関数の合成から $${\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin \left( x +\frac{\pi}{4}\right)}$$ であることから \( 0 \leqq x \leqq 2\pi\hspace{2pt}\)における\(\hspace{1pt}t\hspace{1pt}\)の範囲は $${ -\sqrt{2} \leqq t \leqq \sqrt{2}}$$ となります。

\(\displaystyle f(t)= - \frac{1}{2}t^3 +\frac{3}{2}t\hspace{1pt}\)とすると $${f'(t) = - \frac{3}{2}t^2 + \frac{3}{2} }$$ となります。

\({f'(t)=0}\) を解くと $$\begin{aligned} - \frac{3}{2}t^2 +\frac{3}{2} & =0\\[0.5em] - \frac{3}{2} (t^2 -1) & =0\\[0.5em] - \frac{3}{2} (t -1)(t+1) & =0\\[0.5em] \end{aligned}$$ よって\(\displaystyle\hspace{3pt}t = \pm 1\hspace{1pt}\)となります。

ここで、\(\displaystyle t =\pm 1\hspace{1pt}\)の前後における \(\displaystyle{f'(t)}\) の符号の変化を調べます。

\({\displaystyle f'(t)=- \frac{3}{2} (t -1)(t+1)}\) より
　\({\displaystyle -\sqrt{2}< t < -1}\)　 のとき \({f'(t) < 0}\)
　\({\displaystyle -1 < t < 1 \hspace{2pt}}\)　　　のとき \({f'(t) > 0}\)
　\({\displaystyle 1< t < \sqrt{2}}\) 　　　のとき \({f'(t) < 0}\)
となります。

よって、関数\(\displaystyle {f(t)}\) は \({\displaystyle t = -1}\) で極小値、\({\displaystyle t=1}\) で極大値をとります。

以上から、増減表を作ると 以下のようになります。

上記の増減表から、関数\(\displaystyle \hspace{1pt} f(t)= - \frac{1}{2}t^3 +\frac{3}{2}t\hspace{1pt}\)\(\hspace{1pt}(-\sqrt{2} \leqq t \leqq \sqrt{2})\hspace{1pt}\) は
　\(\displaystyle t = -1\hspace{1pt}\)で最小値\(\displaystyle\hspace{1pt}-1\hspace{1pt}\)
　\(\displaystyle t = 1\hspace{1pt}\)で最大値\(\displaystyle\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)
となります。

ここで、\(\hspace{1pt}t = \sqrt{2}\sin \left( x +\frac{\pi}{4}\right) \hspace{1pt}\)であることから\(\hspace{1pt}t=-1\hspace{1pt}\)のとき $$\sin \left( x +\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$$ であり、\(\hspace{1pt}0 \leqq x \leqq 2\pi\hspace{1pt}\) の範囲で三角方程式を解くと $$ x = \pi, \frac{3}{2}\pi $$
となります。

また、\(\hspace{1pt}t=1\hspace{1pt}\)のとき $$\sin \left( x +\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ であり、\(0 \leqq x \leqq 2\pi \hspace{1pt}\) の範囲で三角方程式を解くと $$ x = 0, \frac{\pi}{2}$$
となります。

以上から
　\(\displaystyle x = \pi, \frac{3}{2}\pi \hspace{1pt}\)で最小値\(\displaystyle\hspace{1pt}-1\hspace{1pt}\)

　\(\displaystyle x = 0, \frac{\pi}{2}\hspace{1pt}\)で最大値\(\displaystyle\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)

となります。