サイコロの目から決まる条件式が成り立つ確率

【答え】
(1) \(\displaystyle\frac{4}{9}\hspace{1pt}\)

(2) \(\displaystyle\frac{1}{3}\hspace{1pt}\)

(3) \(\displaystyle \frac{23}{27}\hspace{1pt}\)
　

【(1)の解答】
　問題 :『サイコロを\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)回続けて振ったとき、出た目の順に\(\hspace{1pt}x,y,z\hspace{1pt}\)とする。このとき、\(\displaystyle (x-y)(y-z)(z-x) = 0\hspace{1pt}\)となる確率を求めよ』

\((x-y)(y-z)(z-x) = 0\hspace{1pt}\)が成り立つとき、『\(\hspace{1pt}x=y\hspace{1pt}\)または\(\hspace{1pt}y=z\hspace{1pt}\)または\(\hspace{1pt}z=x\hspace{1pt}\)』が成り立ちます。

この事象の余事象は、『\(x,y,z\hspace{1pt}\)の値が全て異なる』となります。

\(x,y,z\hspace{1pt}\)の値が全て異なる確率を求めると、\(x\hspace{1pt}\)は\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)の\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)通り、\(y\hspace{1pt}\)は\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)の値を除いた\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)通り、\(z\hspace{1pt}\)は\(\hspace{1pt}x,y\hspace{1pt}\)の値を除いた\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)通りであるから $$\displaystyle\frac{6 \times 5 \times 4}{6^3} = \frac{5}{9}$$ となります。

したがって、求める確率は $${1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}}$$ となります。
　

【(2)の解答】
　問題 :『サイコロを\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)回続けて振ったとき、出た目の順に\(\hspace{1pt}x,y,z\hspace{1pt}\)とする。このとき、\(\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geqq 1\hspace{1pt}\)となる確率を求めよ』

\(\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geqq 1\hspace{1pt}\)を変形すると、両辺に\(\hspace{1pt}xy > 0\hspace{1pt}\)をかけて $$ \begin{aligned} y + x & \geqq xy\\[0.7em] xy -x -y & \leqq 0\\[0.7em] x(y -1) -y + 1 & \leqq 1\\[0.7em] x(y-1) - (y-1)& \leqq 1\\[0.7em] (x-1)(y-1) & \leqq 1\\[0.7em] \end{aligned} $$

上式を満たす組\(\hspace{1pt}(x,y)\hspace{1pt}\)を求めます。

・【\(\hspace{1pt}x=1\hspace{1pt}\)のとき】
　\(\hspace{1pt}y\hspace{1pt}\)は\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)の\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)通りあります。

・【\(\hspace{1pt}x=2\hspace{1pt}\)のとき】
　\(\hspace{1pt}y\hspace{1pt}\)は\(\hspace{1pt}1 ,2\hspace{1pt}\)の\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)通りあります。

・【\(\hspace{1pt}x \geqq 3 \hspace{1pt}\)のとき】
　それぞれの\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)に対して\(\hspace{1pt}y=1\hspace{1pt}\)の\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)通りがあることから、\(4 \times 1 = 4\hspace{1pt}\)通りあります。

したがって、\( 6+2+4 = 12\hspace{1pt}\)通りであることから、求める確率は $${\frac{12}{6^2} = \frac{1}{3}}$$ となります。
(条件式に\(\hspace{1pt}z\hspace{1pt}\)が含まれていないため、どの\(\hspace{1pt}z\hspace{1pt}\)でも条件式は成り立ちます。そのため、求める確率の分母は\(\hspace{1pt}(x,y)\hspace{1pt}\)の全ての出方である\(\hspace{1pt}6^2\hspace{1pt}\)通りとなります。)
　

【(3)の解答】
　問題 :『サイコロを\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)回続けて振ったとき、出た目の順に\(\hspace{1pt}x,y,z\hspace{1pt}\)とする。このとき、\(\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geqq \frac{1}{z}\hspace{1pt}\)となる確率を求めよ』

\(\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geqq \frac{1}{z}\hspace{1pt}\)を変形すると、両辺に\(\hspace{1pt}xyz > 0\hspace{1pt}\)をかけて $$ \begin{aligned} yz + xz & \geqq xy\\[0.7em] xy -yz -xz & \leqq 0\\[0.7em] x(y-z) -yz +z^2 & \leqq z^2\\[0.7em] x(y-z) -z(y- z) & \leqq z^2\\[0.7em] (x-z)(y-z) & \leqq z^2\\[0.7em] \end{aligned} $$

上式を満たす組\(\hspace{1pt}(x,y,z)\hspace{1pt}\)を求めます。

・【\(\hspace{1pt}z=1\hspace{1pt}\)のとき】
　\((x-1)(y-1) \leqq 1\hspace{1pt}\)となるため、問題(2)から\(\hspace{1pt}12\hspace{1pt}\)通りあります。

・【\(\hspace{1pt}z=2\hspace{1pt}\)のとき】
　\((x-2)(y-2) \leqq 4\hspace{1pt}\)となります。

　\( 1 \leqq x \leqq 3\hspace{2pt}\)のとき\(\hspace{2pt} 1 \leqq y \leqq 6\hspace{2pt}\)の\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)通りあります。
　よって、\(3 \times 6 = 18\hspace{1pt}\)通りあります。

　\( x = 4\hspace{1pt}\)のとき、\(1 \leqq y \leqq 4\hspace{1pt}\)の\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)通りあります。

　\( x = 5,6\hspace{1pt}\)のとき、\(1 \leqq y \leqq 3\hspace{1pt}\)の\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)通りあります。
　よって、\(2 \times 3 = 6\hspace{1pt}\)通りあります。

・【\(\hspace{1pt}3 \leqq z \leqq 6\hspace{1pt}\)のとき】
　全ての\(\hspace{1pt}(x,y)\hspace{1pt}\)について成り立つことから、\(4 \times 6^2 = 144\hspace{1pt}\)通りとなります。

したがって、\( 12+18+ 4 +6 + 144 = 184\hspace{1pt}\)通りであることから、求める確率は $${\frac{184}{6^3} = \frac{23}{27}}$$ となります。
　

【入試本番に向けたアドバイス】
　本問は、サイコロを振った結果が条件式を満たす確率を求める問題です。

　このタイプの問題は、『条件式が成り立つ数字の組を数え上げる』ことで確率を求めます。

　条件式は和より積の式の方が数字の組を絞り込みやすいです。
　本問のような和で表された条件式は積の式に変形します。
　

【よく出題される条件式のパターン】
　条件式のパターンとしては、 $${(x-y)(y-z)(z-x) = 0}$$ 　の場合、上記を満たす\(\hspace{1pt}(x,y,z)\hspace{1pt}\)の数は『\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)つの数字が全て異なる数字となる組』の余事象から求められます。
　

　また、\(x,y,z , m\hspace{1pt}\)を正の整数としたとき $${xyz = m}$$ 　の場合、上記を満たす\(\hspace{1pt}(x,y,z)\hspace{1pt}\)の数は『\(\hspace{1pt}m\hspace{1pt}\)を因数分解した結果から、数字の組を絞り込む』ことができます。
　

　その他によく出題されるパターンとしては、二次方程式の判別式との融合問題で\(\hspace{1pt}a, b, c\hspace{1pt}\)を整数としたとき $${b^2 -4ac = 0}$$ 　が条件式となる場合があります。
　このときは\(\hspace{2pt}b^2 = 4ac\hspace{2pt}\)と変形し、『\(b^2\hspace{1pt}\)が偶数となることから\(\hspace{1pt}b\hspace{1pt}\)が偶数』と絞り込むことができます。