3個のサイコロの目の積の確率の問題

【答え】
(1) \(\displaystyle\frac{19}{27}\hspace{1pt}\)

(2) \(\displaystyle \frac{7}{27} \hspace{1pt}\)

(3) \(\displaystyle \frac{1}{18} \hspace{1pt}\)

(4) \(\displaystyle \frac{1}{24} \hspace{1pt}\)

(5) \(\displaystyle \frac{7}{9} \hspace{1pt}\)
　

【(1)の解答】
　問題 :『\(3\hspace{1pt}\)個のサイコロを同時に振ったとき、目の積が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数になる確率を求めよ』

『目の積が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数になる』ことは、『\(3\hspace{1pt}\)個のサイコロのうち、少なくとも\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個のサイコロの目が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)または\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)の目になる』ことに対応します。

上記の事象の余事象は、『\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個のサイコロのうち、全てのサイコロで\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)または\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)の目が出ない』となります。

全てのサイコロで\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)または\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)の目が出ない確率は $${\frac{4^3}{6^3}= \frac{8}{27}}$$ となります。

したがって、目の積が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数になる確率は $${1 - \frac{8}{27} = \frac{19}{27}}$$ となります。
　

【(2)の解答】
　問題 :『\(3\hspace{1pt}\)個のサイコロを同時に振ったとき、目の積が\(\hspace{1pt}9\hspace{1pt}\)の倍数になる確率を求めよ』

目の積が\(\hspace{1pt}9\hspace{1pt}\)の倍数となるときは、\(3\hspace{1pt}\)の倍数の数字が\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)回以上出ることに対応します。

つまり、目の積が\(\hspace{1pt}9\hspace{1pt}\)の倍数となる数字の組は以下のように数えられます。

・\(\hspace{1pt}(3, 3, \bigcirc)\hspace{1pt}\)のとき
　　\(\hspace{1pt}\bigcirc\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)の\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)通り
　　　\(\hspace{1pt}(3, 3, 1)\hspace{1pt}, (3,3,2)\hspace{1pt}, (3,3,3)\)
　　　\(\hspace{1pt}(3, 3, 4)\hspace{1pt}, (3,3,5)\hspace{1pt}, (3,3,6)\)

・\(\hspace{1pt}(6, 6, \bigcirc)\hspace{1pt}\)のとき
　　\(\hspace{1pt}\bigcirc\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)の\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)通り
　　　\(\hspace{1pt}(6, 6, 1)\hspace{1pt}, (6,6,2)\hspace{1pt}, (6,6,3)\)
　　　\(\hspace{1pt}(6, 6, 4)\hspace{1pt}, (6,6,5)\hspace{1pt}, (6,6,6)\)

・\(\hspace{1pt}(3, 6, \bigcirc)\hspace{1pt}\)のとき
　　\(\hspace{1pt}\bigcirc\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}1 , 2 , 4 , 5\hspace{1pt}\)の\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)通り
　　　\(\hspace{1pt}(3, 6, 1)\hspace{1pt}, (3,6,2)\hspace{1pt}, (3,6,4)\)
　　　\(\hspace{1pt}(3, 6, 5)\hspace{1pt}\)

となります。

ここで、上記の数の組のうち、全ての数が異なる組は並べ方が\(\hspace{1pt}3!\hspace{1pt}\)通り、\(2\hspace{1pt}\)つの数が同じ組は並べ方が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)通り、全ての数が同じ組は並べ方が\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)通りであることから、求める確率は $$ \begin{aligned} & \frac{4 \times 3! + 10 \times 3 + 2 \times 1}{6^3}\\[0.7em] & = \frac{56}{6^3}\\[0.7em] & = \frac{7}{27} \\[0.7em] \end{aligned} $$ と求められます。
　

【(3)の解答】
　問題 :『\(3\hspace{1pt}\)個のサイコロを同時に振ったとき、目の積が\(\hspace{1pt}36\hspace{1pt}\)になる確率を求めよ』

\(\hspace{1pt}36 = 2^2 \times 3^2\hspace{1pt}\)であることから数の組み合わせは 　　　\(\hspace{1pt}(3, 3, 4)\hspace{1pt}, (2 , 3 , 6)\hspace{1pt}, (1 , 6,6)\) の\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)通りとなります。

ここで、上記の数の組のうち、全ての数が異なる\(\hspace{1pt}(2 , 3 , 6)\hspace{1pt}\)は並べ方が\(\hspace{1pt}3!\hspace{1pt}\)通り、\(2\hspace{1pt}\)つの数が同じ\(\hspace{1pt}(3, 3, 4),(1,6,6)\hspace{1pt}\)は並べ方が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)通りであることから、求める確率は $$ \begin{aligned} & \frac{1 \times 3! + 2 \times 3 }{6^3}\\[0.7em] & = \frac{12}{6^3}\\[0.7em] & = \frac{1}{18} \\[0.7em] \end{aligned} $$ と求められます。
　

【(4)の解答】
　問題 :『\(3\hspace{1pt}\)個のサイコロを同時に振ったとき、目の積が素数になる確率を求めよ』

\(3\hspace{1pt}\)個のサイコロを同時に振ったとき目の積が素数になるためには、\(2\hspace{1pt}\)個のサイコロで\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)の目が出て、\(1\hspace{1pt}\)個のサイコロで\(\hspace{1pt}2 , 3 , 5\hspace{1pt}\)のどれかが出ることになります。

すなわち、\(\hspace{1pt}(1, 1, 2)\hspace{1pt}, (1 , 1 , 3)\hspace{1pt}, (1 , 1,5)\)の\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)通りとなります。

ここで、\(2\hspace{1pt}\)つの数が同じ組は並べ方が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)通りであることから、求める確率は $${ \frac{3 \times 3 }{6^3} = \frac{1}{24}}$$ となります。
　

【(5)の解答】
　問題 :『\(3\hspace{1pt}\)個のサイコロを同時に振ったとき、目の積または和が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数になる確率を求めよ』

問題(1)から、目の積が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数になる確率は\(\displaystyle \hspace{1pt}\frac{19}{27}\hspace{1pt}\)となります。

ここで、目の和が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数であり、目の積が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数でない数の組を求めます。

・[1] 目の和が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)のとき
　　　\(\hspace{1pt}(1, 1, 1)\)

・[2] 目の和が\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)のとき
　　　\(\hspace{1pt}(2, 2, 2)\hspace{1pt}, (1,1,4)\)

・[3] 目の和が\(\hspace{1pt}9\hspace{1pt}\)のとき
　　　\(\hspace{1pt}(1, 4, 4)\hspace{1pt}, (2,2,5)\)

・[4] 目の和が\(\hspace{1pt}12\hspace{1pt}\)のとき
　　　\(\hspace{1pt}(4, 4, 4)\hspace{1pt}, (2,5,5)\)

・[5] 目の和が\(\hspace{1pt}15\hspace{1pt}\)のとき
　　　\(\hspace{1pt}(5,5,5)\)

ここで、\(2\hspace{1pt}\)つの数が同じ組は並べ方が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)通り、\(3\hspace{1pt}\)つの数が同じ組は並べ方が\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)通りであることから、目の和が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数でありかつ目の積が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数でない目が出る確率は $${ \frac{4 \times 3 +4 \times 1 }{6^3} = \frac{2}{27}}$$ となります。

問題(1)で求めた『目の積が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数になること』と『目の和が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数であり、目の積が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数でない』ことは互いに排反であることから、求める確率は $${\frac{19}{27} + \frac{2}{27} = \frac{7}{9}}$$ となります。
　

【入試本番に向けたアドバイス】
本問は、\(3\hspace{1pt}\)個のサイコロを振ったときの出た目の積の確率を求める問題です。

サイコロの目の積の問題は、確率の分野でかなり高い頻度で出題されるテーマの一つです。

サイコロの積の問題は様々な出題パターンがありますが、解法としては『余事象を利用する』もしくは『条件から数字を絞り込み、全ての組み合わせを数える』のどちらかで解く場合が多いです。

『余事象を利用する』例としては、本問(1)のように積が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数や、\(5\hspace{1pt}\)の倍数となる確率を求める問題があります。

積が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数、\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)の倍数となる確率を求めるためには、『少なくとも\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個のサイコロで\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)や\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)が出る』ことの余事象の確率を求めることで、問題の確率を求めます。

『条件から数字を絞り込み、全ての組み合わせを数える』例としては、本問(3)のように積がある整数\(\hspace{1pt}m\hspace{1pt}\)となるときや、問題(4)のように積が素数となるときの確率を求める問題があります。

積が\(\hspace{1pt}36\hspace{1pt}\)であるような場合は、\(36 = 2^2 \times 3^2\hspace{1pt}\)と因数分解することで用いる数字を絞り込むことができます。
この因数分解の結果から、積が\(\hspace{1pt}36\hspace{1pt}\)となる数字の組み合わせを見つけます。