◆第問目！
まず、くじを\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)回引くとき、当たりを\(\hspace{1pt}m\hspace{1pt}\)回、はずれを\(\hspace{1pt}5-m\hspace{1pt}\)回引くとすると、得点が\(\hspace{1pt}10\hspace{1pt}\)点であるときに以下が成り立ちます。 $$ 3 \times m -2 \times (5-m) = 10 $$
また、\(\hspace{2pt}n\hspace{2pt}\)回くじを引き、そのうち\(\hspace{2pt}r\hspace{2pt}\)回だけ当たりが出るような確率は反復試行の確率の公式から求めることができます。
\({1\hspace{2pt}}\)回の試行により事象\({\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)の起こる確率が\({\hspace{1pt}p\hspace{2pt}}\)であるとします。この試行を\({\hspace{1pt}n\hspace{1pt}}\)回繰り返して行うとき、事象\({\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)が\({\hspace{1pt}r\hspace{2pt}}\)回起こる確率は $${{{}_n C_r \hspace{2pt}p^{\hspace{2pt}r} \hspace{1pt} (1-p)^{n-r}}}$$ となります。
くじを\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)回引くとき、当たりを\(\hspace{1pt}m\hspace{1pt}\)回、はずれを\(\hspace{1pt}5-m\hspace{1pt}\)回引くとすると、得点が\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)点以下であるときに次の式が成り立ちます。 $$ 3 \times m -2 \times (5-m) \leqq 0 $$
【答え】
(1) \(\displaystyle\hspace{1pt} \frac{15}{1024}\hspace{3pt}\)
(2) \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{459}{512}\hspace{3pt}\)
【(1)の解答】
問題 :『\(12\hspace{1pt}\)本のうち当たりが\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)本入っているくじから\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)本を引き、結果を確認して元に戻す操作を\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)回繰り返す。
当たりを引くと\(\hspace{1pt}+3\hspace{1pt}\)点、はずれを引くと\(\hspace{1pt}-2\hspace{1pt}\)点であるとき、点が\(\hspace{1pt}10\hspace{1pt}\)点になる確率を求めよ。』
まず、くじを\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)回引くとき、当たりを\(\hspace{1pt}m\hspace{1pt}\)回、はずれを\(\hspace{1pt}5-m\hspace{1pt}\)回引くとすると、得点が\(\hspace{1pt}10\hspace{1pt}\)点であるとき、以下が成り立ちます。 $$ 3 \times m -2 \times (5-m) = 10 $$ 上式を\(\hspace{1pt}m\hspace{1pt}\)について解くと $$ \begin{aligned} 3 m -2(5-m) & = 10 \\[0.7em] 5m & = 20 \\[0.7em] m & = 4 \\[0.7em] \end{aligned} $$ となります。
したがって、当たりを\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)回引くと、得点が\(\hspace{1pt}10\hspace{1pt}\)点となります。
くじを\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)回引いたときに、当たりを引く確率は\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{3}{12} = \frac{1}{4}\hspace{2pt}\)となります。
よって、くじを\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)回引いたときに、当たりを\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)回引く確率を反復試行の確率の公式から求めると $$ \begin{aligned} & {}_{5} C_4 \left(\frac{1}{4}\right)^4 \left(1-\frac{1}{4}\right)^{5-4} \\[0.7em] & = {}_{5} C_4 \left(\frac{1}{4}\right)^4 \left(\frac{3}{4}\right) \\[0.7em] & = 5 \times \frac{3}{4^5}\\[0.7em] & = \frac{15}{1024}\\[0.7em] \end{aligned} $$
以上から、くじを\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)回引くとき、得点が\(\hspace{1pt}10\hspace{1pt}\)点である確率は\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{15}{1024}\hspace{2pt}\)となります。
【(2)の解答】
問題 :『\(12\hspace{1pt}\)本のうち当たりが\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)本入っているくじから\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)本を引き、結果を確認して元に戻す操作を\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)回繰り返す。
当たりを引くと\(\hspace{1pt}+3\hspace{1pt}\)点、はずれを引くと\(\hspace{1pt}-2\hspace{1pt}\)点であるとき、点が\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)点以下になる確率を求めよ。』
まず、くじを\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)回引くとき、当たりを\(\hspace{1pt}m\hspace{1pt}\)回、はずれを\(\hspace{1pt}5-m\hspace{1pt}\)回引くとすると、得点が\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)点以下であるときに次の式が成り立ちます。 $$ 3 \times m -2 \times (5-m) \leqq 0 $$ 上式を\(\hspace{1pt}m\hspace{1pt}\)について解くと $$ \begin{aligned} 3 m -2(5-m) & \leqq 0 \\[0.7em] 5m & \leqq 10 \\[0.7em] m & \leqq 2 \\[0.7em] \end{aligned} $$ となります。
したがって、当たりを引く回数が\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)回以下のとき、得点が\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)点以下となります。
ここで、当たりを引く回数が\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)回以下となる事象は
・[1] 当たりを引かない
・[2] 当たりを\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)本引く
・[3] 当たりを\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)本引く
という\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)つの事象の和事象となります。
・[1] 当たりを引かない確率
くじを\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)回引いたときに、当たりを引かない確率を反復試行の確率の公式から求めると
$$
\begin{aligned}
& {}_{5} C_0 \left(\frac{1}{4}\right)^0 \left(1-\frac{1}{4}\right)^{5-0} \\[0.7em]
& = {}_{5} C_0 \left(\frac{3}{4}\right)^{5} \\[0.7em]
& = 1 \times \frac{3^5}{4^5}\\[0.7em]
& = \frac{243}{1024}\\[0.7em]
\end{aligned}
$$
以上から、くじを\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)回引くとき、当たりを引かない確率は\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{243}{1024}\hspace{2pt}\)となります。
・[2] 当たりを\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)本引く確率
また、くじを\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)回引いたときに、当たりを\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)本引く確率を反復試行の確率の公式から求めると
$$
\begin{aligned}
& {}_{5} C_1 \left(\frac{1}{4}\right)^1 \left(1-\frac{1}{4}\right)^{5-1} \\[0.7em]
& = {}_{5} C_1 \left(\frac{1}{4}\right) \left(\frac{3}{4}\right)^{4} \\[0.7em]
& = 5 \times \frac{3^4}{4^5}\\[0.7em]
& = \frac{405}{1024}\\[0.7em]
\end{aligned}
$$
以上から、くじを\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)回引くとき、当たりを\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)本引く確率は\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{405}{1024}\hspace{2pt}\)となります。
・[3] 当たりを\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)本引く確率
また、くじを\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)回引いたときに、当たりを\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)本引く確率を反復試行の確率の公式から求めると
$$
\begin{aligned}
& {}_{5} C_2 \left(\frac{1}{4}\right)^2 \left(1-\frac{1}{4}\right)^{5-2} \\[0.7em]
& = {}_{5} C_2 \left(\frac{1}{4}\right)^2 \left(\frac{3}{4}\right)^{3} \\[0.7em]
& = 10 \times \frac{3^3}{4^5}\\[0.7em]
& = \frac{270}{1024}\\[0.7em]
\end{aligned}
$$
以上から、くじを\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)回引くとき、当たりを\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)本引く確率は\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{270}{1024}\hspace{2pt}\)となります。
ここで、『当たりを引かない』、『当たりを\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)本引く』、『当たりを\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)本引く』という\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)つの事象は互いに排反であるから、求める確率は $$ \begin{aligned} & \frac{243}{1024} +\frac{405}{1024} + \frac{270}{1024} \\[0.7em] & =\frac{918}{1024}\\[0.7em] & =\frac{459}{512}\\[0.7em] \end{aligned} $$ となります。
したがって、点が\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)点以下になる確率は\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{459}{512}\hspace{2pt}\)と求められます。
【関連するページ】
・反復試行の確率