くじの結果から得点を得るゲーム

【答え】
(1) $\displaystyle\hspace{1pt} \frac{15}{1024}\hspace{3pt}$

(2) $\displaystyle\hspace{1pt}\frac{459}{512}\hspace{3pt}$
　

【(1)の解答】
　問題 :『$12\hspace{1pt}$本のうち当たりが$\hspace{1pt}3\hspace{1pt}$本入っているくじから$\hspace{1pt}1\hspace{1pt}$本を引き、結果を確認して元に戻す操作を$\hspace{1pt}5\hspace{1pt}$回繰り返す。
　当たりを引くと$\hspace{1pt}+3\hspace{1pt}$点、はずれを引くと$\hspace{1pt}-2\hspace{1pt}$点であるとき、点が$\hspace{1pt}10\hspace{1pt}$点になる確率を求めよ。』

まず、くじを$\hspace{1pt}5\hspace{1pt}$回引くとき、当たりを$\hspace{1pt}m\hspace{1pt}$回、はずれを$\hspace{1pt}5-m\hspace{1pt}$回引くとすると、得点が$\hspace{1pt}10\hspace{1pt}$点であるとき、以下が成り立ちます。 $$3 \times m -2 \times (5-m) = 10$$ 上式を$\hspace{1pt}m\hspace{1pt}$について解くと $$\begin{aligned} 3 m -2(5-m) & = 10 \\[0.7em] 5m & = 20 \\[0.7em] m & = 4 \\[0.7em] \end{aligned}$$ となります。

したがって、当たりを$\hspace{1pt}4\hspace{1pt}$回引くと、得点が$\hspace{1pt}10\hspace{1pt}$点となります。

くじを$\hspace{1pt}1\hspace{1pt}$回引いたときに、当たりを引く確率は$\displaystyle\hspace{2pt}\frac{3}{12} = \frac{1}{4}\hspace{2pt}$となります。

よって、くじを$\hspace{1pt}5\hspace{1pt}$回引いたときに、当たりを$\hspace{1pt}4\hspace{1pt}$回引く確率を反復試行の確率の公式から求めると $$\begin{aligned} & {}_{5} C_4 \left(\frac{1}{4}\right)^4 \left(1-\frac{1}{4}\right)^{5-4} \\[0.7em] & = {}_{5} C_4 \left(\frac{1}{4}\right)^4 \left(\frac{3}{4}\right) \\[0.7em] & = 5 \times \frac{3}{4^5}\\[0.7em] & = \frac{15}{1024}\\[0.7em] \end{aligned}$$

以上から、くじを$\hspace{1pt}5\hspace{1pt}$回引くとき、得点が$\hspace{1pt}10\hspace{1pt}$点である確率は$\displaystyle\hspace{2pt}\frac{15}{1024}\hspace{2pt}$となります。
　

【(2)の解答】
　問題 :『$12\hspace{1pt}$本のうち当たりが$\hspace{1pt}3\hspace{1pt}$本入っているくじから$\hspace{1pt}1\hspace{1pt}$本を引き、結果を確認して元に戻す操作を$\hspace{1pt}5\hspace{1pt}$回繰り返す。
　当たりを引くと$\hspace{1pt}+3\hspace{1pt}$点、はずれを引くと$\hspace{1pt}-2\hspace{1pt}$点であるとき、点が$\hspace{1pt}0\hspace{1pt}$点以下になる確率を求めよ。』

まず、くじを$\hspace{1pt}5\hspace{1pt}$回引くとき、当たりを$\hspace{1pt}m\hspace{1pt}$回、はずれを$\hspace{1pt}5-m\hspace{1pt}$回引くとすると、得点が$\hspace{1pt}0\hspace{1pt}$点以下であるときに次の式が成り立ちます。 $$3 \times m -2 \times (5-m) \leqq 0$$ 上式を$\hspace{1pt}m\hspace{1pt}$について解くと $$\begin{aligned} 3 m -2(5-m) & \leqq 0 \\[0.7em] 5m & \leqq 10 \\[0.7em] m & \leqq 2 \\[0.7em] \end{aligned}$$ となります。

したがって、当たりを引く回数が$\hspace{1pt}2\hspace{1pt}$回以下のとき、得点が$\hspace{1pt}0\hspace{1pt}$点以下となります。

ここで、当たりを引く回数が$\hspace{1pt}2\hspace{1pt}$回以下となる事象は
　・[1] 当たりを引かない
　・[2] 当たりを$\hspace{1pt}1\hspace{1pt}$本引く
　・[3] 当たりを$\hspace{1pt}2\hspace{1pt}$本引く
という$\hspace{1pt}3\hspace{1pt}$つの事象の和事象となります。

・[1] 当たりを引かない確率
　くじを$\hspace{1pt}5\hspace{1pt}$回引いたときに、当たりを引かない確率を反復試行の確率の公式から求めると $$\begin{aligned} & {}_{5} C_0 \left(\frac{1}{4}\right)^0 \left(1-\frac{1}{4}\right)^{5-0} \\[0.7em] & = {}_{5} C_0 \left(\frac{3}{4}\right)^{5} \\[0.7em] & = 1 \times \frac{3^5}{4^5}\\[0.7em] & = \frac{243}{1024}\\[0.7em] \end{aligned}$$

以上から、くじを$\hspace{1pt}5\hspace{1pt}$回引くとき、当たりを引かない確率は$\displaystyle\hspace{2pt}\frac{243}{1024}\hspace{2pt}$となります。

・[2] 当たりを$\hspace{1pt}1\hspace{1pt}$本引く確率
　また、くじを$\hspace{1pt}5\hspace{1pt}$回引いたときに、当たりを$\hspace{1pt}1\hspace{1pt}$本引く確率を反復試行の確率の公式から求めると $$\begin{aligned} & {}_{5} C_1 \left(\frac{1}{4}\right)^1 \left(1-\frac{1}{4}\right)^{5-1} \\[0.7em] & = {}_{5} C_1 \left(\frac{1}{4}\right) \left(\frac{3}{4}\right)^{4} \\[0.7em] & = 5 \times \frac{3^4}{4^5}\\[0.7em] & = \frac{405}{1024}\\[0.7em] \end{aligned}$$

以上から、くじを$\hspace{1pt}5\hspace{1pt}$回引くとき、当たりを$\hspace{1pt}1\hspace{1pt}$本引く確率は$\displaystyle\hspace{2pt}\frac{405}{1024}\hspace{2pt}$となります。

・[3] 当たりを$\hspace{1pt}2\hspace{1pt}$本引く確率
　また、くじを$\hspace{1pt}5\hspace{1pt}$回引いたときに、当たりを$\hspace{1pt}2\hspace{1pt}$本引く確率を反復試行の確率の公式から求めると $$\begin{aligned} & {}_{5} C_2 \left(\frac{1}{4}\right)^2 \left(1-\frac{1}{4}\right)^{5-2} \\[0.7em] & = {}_{5} C_2 \left(\frac{1}{4}\right)^2 \left(\frac{3}{4}\right)^{3} \\[0.7em] & = 10 \times \frac{3^3}{4^5}\\[0.7em] & = \frac{270}{1024}\\[0.7em] \end{aligned}$$

以上から、くじを$\hspace{1pt}5\hspace{1pt}$回引くとき、当たりを$\hspace{1pt}2\hspace{1pt}$本引く確率は$\displaystyle\hspace{2pt}\frac{270}{1024}\hspace{2pt}$となります。

ここで、『当たりを引かない』、『当たりを$\hspace{1pt}1\hspace{1pt}$本引く』、『当たりを$\hspace{1pt}2\hspace{1pt}$本引く』という$\hspace{1pt}3\hspace{1pt}$つの事象は互いに排反であるから、求める確率は $$\begin{aligned} & \frac{243}{1024} +\frac{405}{1024} + \frac{270}{1024} \\[0.7em] & =\frac{918}{1024}\\[0.7em] & =\frac{459}{512}\\[0.7em] \end{aligned}$$ となります。

したがって、点が$\hspace{1pt}0\hspace{1pt}$点以下になる確率は$\displaystyle\hspace{2pt}\frac{459}{512}\hspace{2pt}$と求められます。

【関連するページ】
・反復試行の確率