◆第問目！
まず、サイコロを\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)回投げるとき、点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)が原点にあるために、\(3\hspace{1pt}\)の倍数が何回出る必要があるかを求めます。
\(3\hspace{1pt}\)の倍数が\(\hspace{1pt}m\hspace{1pt}\)回出るとすると $$ { 1 \times m -1 \times (6-m) = 0}$$ の式を満たすことから求められます。
また、\(3\hspace{1pt}\)の倍数が\(\hspace{2pt}n\hspace{2pt}\)回のうち\(\hspace{2pt}r\hspace{2pt}\)回出るような確率は反復試行の確率の公式から求めることができます。
\({1\hspace{2pt}}\)回の試行により事象\({\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)の起こる確率が\({\hspace{1pt}p\hspace{2pt}}\)であるとします。この試行を\({\hspace{1pt}n\hspace{1pt}}\)回繰り返して行うとき、事象\({\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)が\({\hspace{1pt}r\hspace{2pt}}\)回起こる確率は $${{{}_n C_r \hspace{2pt}p^{\hspace{2pt}r} \hspace{1pt} (1-p)^{n-r}}}$$ となります。
まず、サイコロを\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)回投げるとき、点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)以上であるために、\(3\hspace{1pt}\)の倍数が何回出る必要があるかを求めます。
\(3\hspace{1pt}\)の倍数が\(\hspace{1pt}m\hspace{1pt}\)回出た結果、点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)以上となるとき $$ { 1 \times m -1 \times (6-m) \geqq 4}$$ の式を満たします。
【答え】
(1) \(\displaystyle\hspace{1pt} \frac{160}{729}\hspace{3pt}\)
(2) \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{13}{729}\hspace{3pt}\)
【(1)の解答】
問題 :『数直線上の原点に点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)がある。\(1\hspace{1pt}\)個のサイコロを投げ、\(3\hspace{1pt}\)の倍数の目が出たときに\(\hspace{2pt}+1\hspace{2pt}\)、\(3\hspace{2pt}\)の倍数以外の目が出たときに\(\hspace{1pt}-1\hspace{1pt}\)だけ移動するとする。サイコロを\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)回投げるとき、点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)が原点にある確率を求めよ』
まず、サイコロを\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)回投げるとき、点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)が原点にあるために、\(3\hspace{1pt}\)の倍数が何回出る必要があるかを求めます。
\(3\hspace{1pt}\)の倍数が\(\hspace{1pt}m\hspace{1pt}\)回出るとすると $$ { 1 \times m -1 \times (6-m) = 0}$$ を満たします。
\(\hspace{1pt}m\hspace{1pt}\)について解くと $$ \begin{aligned} 1 \times m -1 \times (6-m) & = 0 \\[0.7em] 2 m -6 & = 0 \\[0.7em] m & = 3 \\[0.7em] \end{aligned} $$
したがって、\(3\hspace{1pt}\)の倍数が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)回出ると、点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)が原点にあることになります。
サイコロを\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)回振ったときに、\(3\hspace{1pt}\)の倍数が出る確率は\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\hspace{2pt}\)となります。
以上から、サイコロを\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)回振ったときに、\(3\hspace{1pt}\)の倍数が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)回出る確率を反復試行の確率の公式から求めると $$ \begin{aligned} & {}_{6} C_3 \left(\frac{1}{3}\right)^3 \left(1-\frac{1}{3}\right)^{6-3} \\[0.7em] & = {}_{6} C_3 \left(\frac{1}{3}\right)^3 \left(\frac{2}{3}\right)^3 \\[0.7em] & = 20 \times \frac{2^3}{3^6}\\[0.7em] & = \frac{160}{729}\\[0.7em] \end{aligned} $$
サイコロを\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)回投げるとき、点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)が原点にある確率は\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{160}{729}\hspace{2pt}\)となります。
【(2)の解答】
問題 :『数直線上の原点に点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)がある。\(1\hspace{1pt}\)個のサイコロを投げ、\(3\hspace{1pt}\)の倍数の目が出たときに\(\hspace{2pt}+1\hspace{2pt}\)、\(3\hspace{2pt}\)の倍数以外の目が出たときに\(\hspace{1pt}-1\hspace{1pt}\)だけ移動するとする。サイコロを\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)回投げるとき、点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)以上となる確率を求めよ』
まず、サイコロを\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)回投げるとき、点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)以上であるために、\(3\hspace{1pt}\)の倍数が何回出る必要があるかを求めます。
\(3\hspace{1pt}\)の倍数が\(\hspace{1pt}m\hspace{1pt}\)回出るとすると $$ { 1 \times m -1 \times (6-m) \geqq 4}$$ を満たします。
\(\hspace{1pt}m\hspace{1pt}\)について解くと $$ \begin{aligned} 1 \times m -1 \times (6-m) & \geqq 4\\[0.7em] 2 m -6 & \geqq 4 \\[0.7em] 2 m & \geqq 10 \\[0.7em] m & \geqq 5 \\[0.7em] \end{aligned} $$
したがって、\(3\hspace{1pt}\)の倍数が\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)回以上出ると、点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)が\(\hspace{2pt}4\hspace{2pt}\)以上にあることになります。
ここで、\(3\hspace{1pt}\)の倍数が\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)回以上出る事象は
・\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数が\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)回出る
・\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数が\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)回出る
という\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの事象の和事象となります。
\(3\hspace{1pt}\)の倍数が\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)回出る確率は、反復試行の確率の公式から $$ \begin{aligned} & {}_{6} C_5 \left(\frac{1}{3}\right)^5 \left(1-\frac{1}{3}\right)^{6-5} \\[0.7em] & = {}_{6} C_5 \left(\frac{1}{3}\right)^5 \left(\frac{2}{3}\right) \\[0.7em] & = 6 \times \frac{2}{3^6}\\[0.7em] & = \frac{12}{729}\\[0.7em] \end{aligned} $$ となります。
\(3\hspace{1pt}\)の倍数が\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)回出る確率は、反復試行の確率の公式から $$ \begin{aligned} & {}_{6} C_6 \left(\frac{1}{3}\right)^6 \left(1-\frac{1}{3}\right)^{6-6} \\[0.7em] & = {}_{6} C_6 \left(\frac{1}{3}\right)^6 \\[0.7em] & = 1 \times \frac{1}{3^6}\\[0.7em] & = \frac{1}{729}\\[0.7em] \end{aligned} $$ となります。
ここで、『\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数が\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)回出る』と『\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数が\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)回出る』という\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの事象は互いに排反であるから、求める確率は $$ \begin{aligned} & \frac{12}{729} +\frac{1}{729} \\[0.7em] & =\frac{13}{729}\\[0.7em] \end{aligned} $$ となります。
したがって、点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)が\(\hspace{2pt}4\hspace{2pt}\)以上にある確率は\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{13}{729}\hspace{2pt}\)と求められます。
【関連するページ】
・反復試行の確率