◆第問目！
\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)回戦目で優勝が決まる事象は
・\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)連勝する
・\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)連勝する
という\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの事象の和事象となります。
\(4\hspace{1pt}\)回戦目で\(A\hspace{1pt}\)が優勝するためには
・\(3\hspace{1pt}\)回戦目までに\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)勝、\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)勝する
・\(4\hspace{1pt}\)回戦目で\(A\hspace{1pt}\)が勝つ
という条件が必要になります。
『\(3\hspace{1pt}\)回戦目までに\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)勝、\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)勝する』という事象が起こる確率は、反復試行の確率から計算できます。
反復試行の確率の公式とは、以下のような公式です。
\({1\hspace{2pt}}\)回の試行により事象\({\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)の起こる確率が\({\hspace{1pt}p\hspace{2pt}}\)であるとします。この試行を\({\hspace{1pt}n\hspace{1pt}}\)回繰り返して行うとき、事象\({\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)が\({\hspace{1pt}r\hspace{2pt}}\)回起こる確率は
$${{{}_n C_r \hspace{2pt}p^{\hspace{2pt}r} \hspace{1pt} (1-p)^{n-r}}}$$
と求められます。
\(A\hspace{1pt}\)が優勝する事象は
・\(A\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)連勝する
・\(4\hspace{1pt}\)回戦目で\(A\hspace{1pt}\)が勝つ
・\(5\hspace{1pt}\)回戦目で\(A\hspace{1pt}\)が勝つ
という\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)つの事象の和事象となります。
【答え】
(1) \(\displaystyle\hspace{1pt} \frac{1}{3}\hspace{3pt}\)
(2) \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{2}{27}\hspace{3pt}\)
(3) \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{17}{81}\hspace{3pt}\)
【(1)の解答】
問題 :『\(A\hspace{1pt}\)と\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)のどちらかが先に\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)勝したら優勝する試合を行った。引き分けはないものとし、\(A\hspace{1pt}\)は\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)に対して\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{1}{3}\hspace{2pt}\)の確率で勝つとする。\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)回戦目で優勝が決まる確率を求めよ』
まず、\(B\hspace{1pt}\)の勝つ確率は\(\displaystyle\hspace{2pt}1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\hspace{2pt}\)となります。
\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)回戦目で優勝が決まる事象は
・\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)連勝する
・\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)連勝する
という\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの事象の和事象となります。
\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)連勝して優勝する確率は\(\displaystyle\hspace{2pt}\left(\frac{1}{3}\right)^3\hspace{2pt}\)となります。
また、\(B\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)連勝して優勝する確率は\(\displaystyle\hspace{2pt}\left(\frac{2}{3}\right)^3\hspace{2pt}\)となります。
\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)または\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)連勝する事象は互いに排反であることから、求める確率は
$${\left(\frac{1}{3}\right)^3 + \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{1}{3}}$$
となります。
【(2)の解答】
問題 :『\(A\hspace{1pt}\)と\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)のどちらかが先に\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)勝したら優勝する試合を行った。引き分けはないものとし、\(A\hspace{1pt}\)は\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)に対して\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{1}{3}\hspace{2pt}\)の確率で勝つとする。\(4\hspace{1pt}\)回戦目で\(A\hspace{1pt}\)の優勝が決まる確率を求めよ』
\(4\hspace{1pt}\)回戦目で\(A\hspace{1pt}\)が優勝するためには
・\(3\hspace{1pt}\)回戦目までに\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)勝、\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)勝する
・\(4\hspace{1pt}\)回戦目で\(A\hspace{1pt}\)が勝つ
ことになります。
反復試行の確率の公式から、\(3\hspace{1pt}\)回戦目までの結果が\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)勝、\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)勝となる確率は
$${{}_{3} C_2 \left(\frac{1}{3}\right)^2 \left(1-\frac{1}{3}\right)^{3-2} }$$
となることから、\(4\hspace{1pt}\)回戦目で\(A\hspace{1pt}\)が優勝する確率は
$$
\begin{aligned}
& {}_{3} C_2 \left(\frac{1}{3}\right)^2 \left(1-\frac{1}{3}\right)^{3-2} \times \frac{1}{3} \\[0.7em]
& = {}_{3} C_2 \left(\frac{1}{3}\right)^2 \left(\frac{2}{3}\right) \times \frac{1}{3} \\[0.7em]
& = 3 \times \frac{2}{3^4}\\[0.7em]
& = \frac{2}{27}\\[0.7em]
\end{aligned}
$$
と求められます。
【(3)の解答】
問題 :『\(A\hspace{1pt}\)と\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)のどちらかが先に\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)勝したら優勝する試合を行った。引き分けはないものとし、\(A\hspace{1pt}\)は\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)に対して\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{1}{3}\hspace{2pt}\)の確率で勝つとする。\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)が優勝する確率を求めよ』
\(A\hspace{1pt}\)が優勝する事象は
・\(A\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)連勝する
・\(4\hspace{1pt}\)回戦目で\(A\hspace{1pt}\)が勝つ
・\(5\hspace{1pt}\)回戦目で\(A\hspace{1pt}\)が勝つ
という\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)つの事象の和事象となります。
問題(1)の計算過程から、\(A\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)連勝する確率は\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{1}{27}\hspace{2pt}\)となります。
また、問題(2)の結果から、\(A\hspace{1pt}\)が\(4\hspace{1pt}\)回戦目で\(A\hspace{1pt}\)が勝つ確率は\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{2}{27}\hspace{2pt}\)となります。
\(5\hspace{1pt}\)回戦目で\(A\hspace{1pt}\)が優勝するためには
・\(4\hspace{1pt}\)回戦目までに\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)勝、\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)勝する
・\(5\hspace{1pt}\)回戦目で\(A\hspace{1pt}\)が勝つ
ことになります。
反復試行の確率の公式から、\(4\hspace{1pt}\)回戦目までの結果が\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)勝、\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)勝となる確率は $${{}_{4} C_2 \left(\frac{1}{3}\right)^2 \left(1-\frac{1}{3}\right)^{4-2}}$$ となることから、\(5\hspace{1pt}\)回戦目で\(A\hspace{1pt}\)が優勝する確率は $$ \begin{aligned} & {}_{4} C_2 \left(\frac{1}{3}\right)^2 \left(1-\frac{1}{3}\right)^{4-2} \times \frac{1}{3} \\[0.7em] & ={}_{4} C_2 \left(\frac{1}{3}\right)^2 \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \frac{1}{3} \\[0.7em] & = 6 \times \frac{4}{3^5}\\[0.7em] & = \frac{8}{81}\\[0.7em] \end{aligned} $$ と求められます。
ここで、『\(A\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)連勝する』、『\(4\hspace{1pt}\)回戦目で\(A\hspace{1pt}\)が勝つ』、『\(5\hspace{1pt}\)回戦目で\(A\hspace{1pt}\)が勝つ』という\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)つの事象は互いに排反であるから、求める確率は $$ \begin{aligned} & \frac{1}{27} + \frac{2}{27} + \frac{8}{81} \\[0.7em] & = \frac{17}{81}\\[0.7em] \end{aligned} $$ となります。
したがって、\(A\hspace{1pt}\)が優勝する確率は\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{17}{81}\hspace{2pt}\)と求められます。
【関連するページ】
・反復試行の確率