◆第問目！
\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの試行について、それぞれの結果が互いに影響を与えないときに独立であるといいます。
\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの試行\(\hspace{1pt}S , T\hspace{1pt}\)が独立であるとき、試行\(\hspace{1pt}S\hspace{1pt}\)では事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)が起こり、試行\(\hspace{1pt}T\hspace{1pt}\)では事象\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)が起こる事象を\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)とすると、事象\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)の確率は $${P(C) = P(A)P(B)}$$ と求められます。
本問では、\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)回目から\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)回目までのサイコロを振る試行は互いに独立となります。
問題文の『\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)回サイコロを振った目の積が偶数となる』ことを言い換えると、『\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)回サイコロを振ったときに、少なくとも\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)回は偶数がでる』となります。
『少なくとも\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)回〇〇が出る』という条件のある確率を求める問題は、余事象の性質を利用すると計算が簡単になります。
問題文の『\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)回サイコロを振った目の積が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数となる』ことを言い換えると、『\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)回サイコロを振ったときに、少なくとも\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)回は\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数がでる』となります。
【答え】
(1) \(\displaystyle\hspace{1pt} 1-\left(\frac{1}{2}\right)^N\hspace{3pt}\)
(2) \(\displaystyle\hspace{1pt}1-\left(\frac{2}{3}\right)^N\hspace{3pt}\)
【(1)の解答】
問題 :『サイコロを\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)回振るとき、サイコロの目の積が偶数となる確率を求めよ』
本問では、\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)回目から\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)回目までのサイコロを振る試行は互いに独立となります。
問題文の『\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)回サイコロを振った目の積が偶数となる』ことを言い換えると、『\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)回サイコロを振ったときに、少なくとも\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)回は偶数がでる』となります。
ここで、『\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)回サイコロを振ったときに、少なくとも\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)回は偶数がでる』の余事象は『\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)回サイコロを振ったときに、全て奇数が出る』となります。
サイコロを\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)回振ったときに奇数が出る確率は\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{1}{2}\hspace{2pt}\)となります。
すなわち、\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)回サイコロを振ったときに、全て奇数が出る確率は $${\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \cdots \times \frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^N}$$ となります。
したがって、サイコロの目の積が偶数となる確率は
$${1-\left(\frac{1}{2}\right)^N}$$
となります。
【(2)の解答】
問題 :『サイコロを\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)回振るとき、サイコロの目の積が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数となる確率を求めよ』
問題文の『\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)回サイコロを振った目の積が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数となる』ことを言い換えると、『\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)回サイコロを振ったときに、少なくとも\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)回は\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数がでる』となります。
ここで、『\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)回サイコロを振ったときに、少なくとも\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)回は\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数がでる』の余事象は『\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)回サイコロを振ったときに、\(\{ 1 , 2 , 4 , 5\}\hspace{1pt}\)のいずれかが出る』となります。
サイコロを\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)回振ったときに\(\{\hspace{2pt} 1 , 2 , 4 , 5\}\hspace{2pt}\)のいずれかが出る確率は\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{4}{6} = \frac{2}{3}\hspace{2pt}\)となります。
すなわち、\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)回サイコロを振ったときに\(\hspace{2pt}\{ 1 , 2 , 4 , 5\}\hspace{2pt}\)のいずれかが出る確率は $${\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \cdots \times \frac{2}{3} = \left(\frac{2}{3}\right)^N}$$ となります。
したがって、サイコロの目の積が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数となる確率は
$${1-\left(\frac{2}{3}\right)^N}$$
となります。
【関連するページ】
・独立な試行の確率