◆第問目！
\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの試行について、それぞれの結果が互いに影響を与えないときに独立であるといいます。
\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの試行\(\hspace{1pt}S , T\hspace{1pt}\)が独立であるとき、試行\(\hspace{1pt}S\hspace{1pt}\)では事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)が起こり、試行\(\hspace{1pt}T\hspace{1pt}\)では事象\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)が起こる事象を\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)とすると、事象\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)の確率は $${P(C) = P(A)P(B)}$$ と求められます。
本問では、袋\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個の玉を引く試行と、袋\(\hspace{1pt}Q\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の玉を引く試行はそれぞれ独立となります。
赤玉を\(\hspace{1pt}\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個、白玉を\(\hspace{1pt}\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個引く事象は、以下の\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの事象の和事象となります。
・袋\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個の赤玉、袋\(\hspace{1pt}Q\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の白玉を引く
・袋\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個の白玉、袋\(\hspace{1pt}Q\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個の赤玉と\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個の白玉を引く
玉の色が全て同じ事象は、以下の\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの事象の和事象となります。
・袋\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個の赤玉、袋\(\hspace{1pt}Q\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の赤玉を引く
・袋\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個の白玉、袋\(\hspace{1pt}Q\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の白玉を引く
【答え】
(1) \(\displaystyle\hspace{1pt} \frac{34}{147}\hspace{3pt}\)
(2) \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{43}{147}\hspace{3pt}\)
【(1)の解答】
問題 :『\(4\hspace{1pt}\)個の赤玉と\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個の白玉が入っている袋\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)と
\(5\hspace{1pt}\)個の赤玉と\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の白玉が入っている袋\(\hspace{1pt}Q\hspace{1pt}\)がある。袋\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個、袋\(\hspace{1pt}Q\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の玉を引くとき、赤玉を\(\hspace{1pt}\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個、白玉を\(\hspace{1pt}\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個を引く確率を求めよ』
袋\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個の玉を引く試行と、袋\(\hspace{1pt}Q\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の玉を引く試行はそれぞれ独立となります。
赤玉を\(\hspace{1pt}\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個、白玉を\(\hspace{1pt}\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個引く事象は、以下の事象\(\hspace{1pt}A, B\hspace{1pt}\)の和事象となります。
・事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\) : 袋\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個の赤玉、袋\(\hspace{1pt}Q\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の白玉を引く
・事象\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\) : 袋\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個の白玉、袋\(\hspace{1pt}Q\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個の赤玉と\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個の白玉を引く
事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)と事象\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)の起こる確率をそれぞれ求めます。
・事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)の起こる確率
袋\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個の赤玉を引く確率は\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{{}_4 C_1}{{}_7 C_1} = \frac{4}{7}\hspace{2pt}\)となります。
また、袋\(\hspace{1pt}Q\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の白玉を引く確率は\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{{}_2 C_2}{{}_7 C_2} = \frac{1}{21}\hspace{2pt}\)となります。
よって、事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)の起こる確率は $${\frac{4}{7} \times \frac{1}{21} = \frac{4}{147}}$$ と求められます。
・事象\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)の起こる確率
袋\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個の白玉を引く確率は\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{{}_3 C_1}{{}_7 C_1} = \frac{3}{7}\hspace{2pt}\)となります。
また、袋\(\hspace{1pt}Q\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個の赤玉と\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個の白玉を引く確率は\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{{}_5 C_1 \times {}_2 C_1}{{}_7 C_2} = \frac{10}{21}\hspace{2pt}\)となります。
よって、事象\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)の起こる確率は $${\frac{3}{7} \times \frac{10}{21} = \frac{30}{147}}$$ と求められます。
ここで、事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)と事象\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)は同時に起こらないため、互いに排反となります。
よって、求める確率は
$$
\begin{aligned}
& P( A \cup B) \\[0.7em]
& = P(A) + P(B) \\[0.7em]
& =\frac{4}{147} +\frac{30}{147}\\[0.7em]
& =\frac{34}{147}\\[0.7em]
\end{aligned}
$$
となります。
【(2)の解答】
問題 :『\(4\hspace{1pt}\)個の赤玉と\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個の白玉が入っている袋\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)と
\(5\hspace{1pt}\)個の赤玉と\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の白玉が入っている袋\(\hspace{1pt}Q\hspace{1pt}\)がある。袋\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個、袋\(\hspace{1pt}Q\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の玉を引くとき、玉の色が全て同じとなる確率を求めよ』
玉の色が全て同じ事象は、以下の事象\(\hspace{1pt}A, B\hspace{1pt}\)の和事象となります。
・事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\) : 袋\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個の赤玉、袋\(\hspace{1pt}Q\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の赤玉を引く
・事象\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\) : 袋\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個の白玉、袋\(\hspace{1pt}Q\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の白玉を引く
事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)と事象\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)の起こる確率をそれぞれ求めます。
・事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)の起こる確率
袋\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個の赤玉を引く確率は\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{{}_4 C_1}{{}_7 C_1} = \frac{4}{7}\hspace{2pt}\)となります。
また、袋\(\hspace{1pt}Q\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の赤玉を引く確率は\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{{}_5 C_2}{{}_7 C_2} = \frac{10}{21}\hspace{2pt}\)となります。
よって、事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)の起こる確率は $${\frac{4}{7} \times \frac{10}{21} = \frac{40}{147}}$$ と求められます。
・事象\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)の起こる確率
袋\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個の白玉を引く確率は\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{{}_3 C_1}{{}_7 C_1} = \frac{3}{7}\hspace{2pt}\)となります。
また、袋\(\hspace{1pt}Q\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の白玉を引く確率は\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{{}_2 C_2 }{{}_7 C_2} = \frac{1}{21}\hspace{2pt}\)となります。
よって、事象\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)の起こる確率は $${\frac{3}{7} \times \frac{1}{21} = \frac{3}{147}}$$ と求められます。
ここで、事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)と事象\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)は同時に起こらないため、互いに排反となります。
よって、求める確率は
$$
\begin{aligned}
& P( A \cup B) \\[0.7em]
& = P(A) + P(B) \\[0.7em]
& = \frac{40}{147}+\frac{3}{147}\\[0.7em]
& =\frac{43}{147}\\[0.7em]
\end{aligned}
$$
となります。
【関連するページ】
・独立な試行の確率