引いたくじを元に戻さない条件の確率

【答え】
(1) $\displaystyle\hspace{1pt}\frac{1}{15}\hspace{3pt}$

(2) $\displaystyle\hspace{1pt}\frac{7}{30}\hspace{3pt}$
　

【(1)の解答】
　問題 :『$10\hspace{1pt}$本のうち当たりが$\hspace{1pt}3\hspace{1pt}$本入っているくじから、$1\hspace{1pt}$本ずつ$\hspace{1pt}2\hspace{1pt}$回続けてくじを引く。ただし、引いたくじは戻さないとする。このとき、当たりを$\hspace{1pt}2\hspace{1pt}$本続けて引く確率を求めよ』

$1\hspace{1pt}$本目が当たる事象を$\hspace{1pt}A\hspace{1pt}$、$2\hspace{1pt}$本目が当たる事象を$\hspace{1pt}B\hspace{1pt}$とします。

$1\hspace{1pt}$本目が当たる確率$\hspace{1pt}P(A)\hspace{1pt}$は$\displaystyle\hspace{2pt}P(A)=\frac{3}{10}\hspace{2pt}$となります。

また、$1\hspace{1pt}$本目が当たりだったとき、残りの$\hspace{1pt}9\hspace{1pt}$本に当たりが$\hspace{1pt}2\hspace{1pt}$本含まれていることから、$2\hspace{1pt}$本目が当たる確率$\hspace{1pt}P_A (B)\hspace{1pt}$は$\displaystyle\hspace{2pt}P_A(B)=\frac{2}{9}\hspace{2pt}$となります。

ここで、確率の乗法定理から、$1\hspace{1pt}$本目が当たりかつ$\hspace{1pt}2\hspace{1pt}$本目が当たる確率は $$\begin{aligned} P(A \cap B)& = P(A) \times P_A(B) \\[0.7em] & = \frac{3}{10} \times \frac{2}{9} \\[0.7em] & = \frac{ 1}{15}\\[0.7em] \end{aligned}$$ よって、求める確率は$\displaystyle\hspace{2pt}\frac{1}{15}\hspace{2pt}$となります。
　

【(2)の解答】
　問題 :『$10\hspace{1pt}$本のうち当たりが$\hspace{1pt}3\hspace{1pt}$本入っているくじから、$1\hspace{1pt}$本ずつ$\hspace{1pt}2\hspace{1pt}$回続けてくじを引く。ただし、引いたくじは戻さないとする。このとき、$1\hspace{1pt}$本目が外れ、$2\hspace{1pt}$本目が当たりを引く確率』

$1\hspace{1pt}$本目が外れる確率$\hspace{1pt}P(\overline{A})\hspace{1pt}$は$\displaystyle\hspace{2pt}P(\overline{A})=\frac{7}{10}\hspace{2pt}$となります。

また、$1\hspace{1pt}$本目が外れだったとき、残りの$\hspace{1pt}9\hspace{1pt}$本に当たりが$\hspace{1pt}3\hspace{1pt}$本含まれていることから、$2\hspace{1pt}$本目が当たる確率$\hspace{1pt}P_{\overline{A}} (B)\hspace{1pt}$は$\displaystyle\hspace{2pt}P_{\overline{A}} (B)=\frac{3}{9}\hspace{2pt}$となります。

ここで、確率の乗法定理から、$1\hspace{1pt}$本目が外れかつ$\hspace{1pt}2\hspace{1pt}$本目が当たる確率は $$\begin{aligned} P(\overline{A} \cap B)& = P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B) \\[0.7em] & = \frac{7}{10} \times \frac{3}{9} \\[0.7em] & = \frac{ 7}{30}\\[0.7em] \end{aligned}$$ よって、求める確率は$\displaystyle\hspace{2pt}\frac{7}{30}\hspace{2pt}$となります。