◆第問目！
本問では、くじを続けて引くときに『くじを戻さない』という条件があるため、\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)本目の結果が\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)本目のくじの確率に影響することになります。
ある事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)が起こったときに、事象\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)が起こる確率を条件付き確率といい、\(P_A(B)\hspace{1pt}\)と表します。
本問では、\(1\hspace{1pt}\)本目が当たる事象を\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)、\(2\hspace{1pt}\)本目が当たる事象を\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)とすると、『\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)本目が当たったとき、\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)本目の当たる確率』が\(\hspace{1pt}P_A(B)\hspace{1pt}\)となります。
求める確率は、事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)と事象\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)が同時に起こる確率\(\hspace{1pt}P(A \cap B)\hspace{1pt}\)であり、確率の乗法定理から $${P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)}$$ と求められます。
\(1\hspace{1pt}\)本目が当たる事象を\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)、\(2\hspace{1pt}\)本目が当たる事象を\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)とすると、確率の乗法定理から\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)本目が外れかつ\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)本目が当たる確率は $${P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}} (B)}$$ と求められます。
【答え】
(1) \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{1}{15}\hspace{3pt}\)
(2) \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{7}{30}\hspace{3pt}\)
【(1)の解答】
問題 :『\(10\hspace{1pt}\)本のうち当たりが\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)本入っているくじから、\(1\hspace{1pt}\)本ずつ\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)回続けてくじを引く。ただし、引いたくじは戻さないとする。このとき、当たりを\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)本続けて引く確率を求めよ』
\(1\hspace{1pt}\)本目が当たる事象を\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)、\(2\hspace{1pt}\)本目が当たる事象を\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)とします。
\(1\hspace{1pt}\)本目が当たる確率\(\hspace{1pt}P(A)\hspace{1pt}\)は\(\displaystyle\hspace{2pt}P(A)=\frac{3}{10}\hspace{2pt}\)となります。
また、\(1\hspace{1pt}\)本目が当たりだったとき、残りの\(\hspace{1pt}9\hspace{1pt}\)本に当たりが\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)本含まれていることから、\(2\hspace{1pt}\)本目が当たる確率\(\hspace{1pt}P_A (B)\hspace{1pt}\)は\(\displaystyle\hspace{2pt}P_A(B)=\frac{2}{9}\hspace{2pt}\)となります。
ここで、確率の乗法定理から、\(1\hspace{1pt}\)本目が当たりかつ\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)本目が当たる確率は
$$
\begin{aligned}
P(A \cap B)& = P(A) \times P_A(B) \\[0.7em]
& = \frac{3}{10} \times \frac{2}{9} \\[0.7em]
& = \frac{ 1}{15}\\[0.7em]
\end{aligned}
$$
よって、求める確率は\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{1}{15}\hspace{2pt}\)となります。
【(2)の解答】
問題 :『\(10\hspace{1pt}\)本のうち当たりが\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)本入っているくじから、\(1\hspace{1pt}\)本ずつ\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)回続けてくじを引く。ただし、引いたくじは戻さないとする。このとき、\(1\hspace{1pt}\)本目が外れ、\(2\hspace{1pt}\)本目が当たりを引く確率』
\(1\hspace{1pt}\)本目が外れる確率\(\hspace{1pt}P(\overline{A})\hspace{1pt}\)は\(\displaystyle\hspace{2pt}P(\overline{A})=\frac{7}{10}\hspace{2pt}\)となります。
また、\(1\hspace{1pt}\)本目が外れだったとき、残りの\(\hspace{1pt}9\hspace{1pt}\)本に当たりが\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)本含まれていることから、\(2\hspace{1pt}\)本目が当たる確率\(\hspace{1pt}P_{\overline{A}} (B)\hspace{1pt}\)は\(\displaystyle\hspace{2pt}P_{\overline{A}} (B)=\frac{3}{9}\hspace{2pt}\)となります。
ここで、確率の乗法定理から、\(1\hspace{1pt}\)本目が外れかつ\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)本目が当たる確率は $$ \begin{aligned} P(\overline{A} \cap B)& = P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B) \\[0.7em] & = \frac{7}{10} \times \frac{3}{9} \\[0.7em] & = \frac{ 7}{30}\\[0.7em] \end{aligned} $$ よって、求める確率は\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{7}{30}\hspace{2pt}\)となります。