◆第問目！
\({1\hspace{2pt}}\)回の試行により事象\({\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)の起こる確率が\({\hspace{1pt}p\hspace{2pt}}\)であるとします。この試行を\({\hspace{1pt}n\hspace{1pt}}\)回繰り返して行うとき、事象\({\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)が\({\hspace{1pt}r\hspace{2pt}}\)回起こる確率は $${{{}_n C_r \hspace{2pt}p^{\hspace{2pt}r} \hspace{1pt} (1-p)^{n-r}}}$$ と求められます。この公式を反復試行の確率の公式といいます。
赤玉を\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)回以上引く確率をそのまま求めようとすると、赤玉を\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)回～\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)回引くときの確率を求め足し合わせる必要があり、計\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)回確率を計算する必要があります。
そこで、『赤玉を引く回数が\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)回以上』の余事象が『赤玉を引く回数が\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)回以下』であることを利用します。
余事象を利用することで、赤玉の出る回数が\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)回、\(1\hspace{1pt}\)回の計\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)回だけ確率を求めればよいので、計算が楽になります。
【答え】
(1) \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{20}{243}\hspace{3pt}\)
(2) \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{716}{729}\hspace{3pt}\)
【(1)の解答】
問題 :『\(4\hspace{1pt}\)個の赤玉と\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の白玉の入った袋がある。この袋から玉を\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個取り出して色を確認して戻す試行を\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)回繰り返すとき、赤玉を\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)回引く確率を求めよ』
まず、玉を\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個取り出して赤玉が出る確率は\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{4}{6}= \frac{2}{3} \hspace{2pt}\)となります。
反復試行の確率の公式から、\(6\hspace{1pt}\)回のうち\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)回だけ赤玉が出る確率を求めると
$$
\begin{aligned}
& {}_{6} C_2 \left(\frac{2}{3}\right)^2 \left(1-\frac{2}{3}\right)^{6-2} \\[0.7em]
& = {}_{6} C_2 \left(\frac{2}{3}\right)^2 \left(\frac{1}{3}\right)^4\\[0.7em]
& = 15 \times \frac{2^2}{3^6}\\[0.7em]
& = \frac{20}{243}\\[0.7em]
\end{aligned}
$$
よって、求める確率は\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{20}{243}\hspace{2pt}\)となります。
【(2)の解答】
問題 :『\(4\hspace{1pt}\)個の赤玉と\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の白玉の入った袋がある。この袋から玉を\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個取り出して色を確認して戻す試行を\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)回繰り返すとき、赤玉を\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)回以上引く確率を求めよ』
赤玉を\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)回以上引く確率をそのまま求めようとすると、赤玉を\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)回～\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)回引くときの確率を求め足し合わせる必要があり、計\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)回確率を計算する必要があります。
そこで、『赤玉を引く回数が\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)回以上』の余事象が『赤玉を引く回数が\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)回以下』であることを利用します。
余事象を利用することで、赤玉の出る回数が\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)回、\(1\hspace{1pt}\)回の計\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)回だけ確率を求めればよいので、計算が楽になります。
反復試行の確率の公式から、\(6\hspace{1pt}\)回のうち赤玉の出る回数が\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)回の確率を求めると $$ \begin{aligned} & {}_{6} C_0 \left(\frac{2}{3}\right)^0 \left(1-\frac{2}{3}\right)^{6-0} \\[0.7em] & = {}_{6} C_0 \left(\frac{1}{3}\right)^6\\[0.7em] & = 1 \times \frac{1}{3^6}\\[0.7em] & = \frac{1}{729}\\[0.7em] \end{aligned} $$ となります。
また、\(6\hspace{1pt}\)回のうち赤玉が\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)回だけ出る確率を求めると $$ \begin{aligned} & {}_{6} C_1 \left(\frac{2}{3}\right)^1 \left(1-\frac{2}{3}\right)^{6-1} \\[0.7em] & = {}_{6} C_1 \left(\frac{2}{3}\right) \left(\frac{1}{3}\right)^5\\[0.7em] & = 6 \times \frac{2}{3^6}\\[0.7em] & = \frac{12}{729}\\[0.7em] \end{aligned} $$ となります。
よって、求める確率は
$$
\begin{aligned}
& 1 - \left( \frac{1}{729} + \frac{12}{729}\right) \\[0.7em]
& = 1 - \frac{13}{729} \\[0.7em]
& = \frac{716}{729} \\[0.7em]
\end{aligned}
$$
となります。
【関連するページ】
・反復試行の確率